Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36916 / 30647
↖ ↑ ↗
← N 11.571526°
E 22.785645°		 ← 598.37 m → N 11.571526°
E 22.791138°		 →
↑
598.43 m
↓
↑
598.43 m
↓
N 11.566144°
E 22.785645°		 ← 598.39 m →
358 087 m²		 N 11.566144°
E 22.791138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563301086425781 y=0.467643737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563301086425781 × 216)
    floor (0.563301086425781 × 65536)
    floor (36916.5)     		tx = 36916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467643737792969 × 216)
    floor (0.467643737792969 × 65536)
    floor (30647.5)     		ty = 30647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36916 / 30647 ti = "16/36916/30647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36916/30647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36916 ÷ 216
    36916 ÷ 65536     		x = 0.56329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30647 ÷ 216
    30647 ÷ 65536     		y = 0.467636108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56329345703125 × 2 - 1) × π
    0.1265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39768452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467636108398438 × 2 - 1) × π
    0.064727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.203348328188278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39768452} λ = 0.39768452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203348328188278))-π/2
    2×atan(1.22549926985007)-π/2
    2×0.886378771684352-π/2
    1.7727575433687-1.57079632675     		φ = 0.20196122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39768452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.785645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20196122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.571526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36916 KachelY 30647 0.39768452 0.20196122 22.785645 11.571526
    Oben rechts KachelX + 1 36917 KachelY 30647 0.39778039 0.20196122 22.791138 11.571526
    Unten links KachelX 36916 KachelY + 1 30648 0.39768452 0.20186729 22.785645 11.566144
    Unten rechts KachelX + 1 36917 KachelY + 1 30648 0.39778039 0.20186729 22.791138 11.566144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20196122-0.20186729) × R
    9.39299999999921e-05 × 6371000     		dl = 598.42802999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20196122-0.20186729) × R
    9.39299999999921e-05 × 6371000     		dr = 598.42802999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39768452-0.39778039) × cos(0.20196122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979675058970537 × 6371000     		do = 598.37354459322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39768452-0.39778039) × cos(0.20186729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979693896168297 × 6371000     		du = 598.385050123233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20196122)-sin(0.20186729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979675058970537-0.979693896168297)×R²
    abs(0.39778039-0.39768452)×1.88371977604129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88371977604129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88371977604129e-05×40589641000000     		ar = 358086.944374185m²