Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36915 / 68913
↖ ↑ ↗
← S  9.234960°
W 78.609924°		 ← 301.40 m → S  9.234960°
W 78.607178°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.237671°
W 78.609924°		 ← 301.40 m →
90 866 m²		 S  9.237671°
W 78.607178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281642913818359 y=0.525768280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281642913818359 × 217)
    floor (0.281642913818359 × 131072)
    floor (36915.5)     		tx = 36915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525768280029297 × 217)
    floor (0.525768280029297 × 131072)
    floor (68913.5)     		ty = 68913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36915 / 68913 ti = "17/36915/68913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36915/68913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36915 ÷ 217
    36915 ÷ 131072     		x = 0.281639099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68913 ÷ 217
    68913 ÷ 131072     		y = 0.525764465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281639099121094 × 2 - 1) × π
    -0.436721801757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.37200200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525764465332031 × 2 - 1) × π
    -0.0515289306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.16188291001693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37200200} λ = -1.37200200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16188291001693))-π/2
    2×atan(0.850540788516504)-π/2
    2×0.704807936068754-π/2
    1.40961587213751-1.57079632675     		φ = -0.16118045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37200200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.609924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16118045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.234960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36915 KachelY 68913 -1.37200200 -0.16118045 -78.609924 -9.234960
    Oben rechts KachelX + 1 36916 KachelY 68913 -1.37195407 -0.16118045 -78.607178 -9.234960
    Unten links KachelX 36915 KachelY + 1 68914 -1.37200200 -0.16122777 -78.609924 -9.237671
    Unten rechts KachelX + 1 36916 KachelY + 1 68914 -1.37195407 -0.16122777 -78.607178 -9.237671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16118045--0.16122777) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16118045--0.16122777) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37200200--1.37195407) × cos(-0.16118045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.987038528410434 × 6371000     		do = 301.404088723807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37200200--1.37195407) × cos(-0.16122777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.987030933227662 × 6371000     		du = 301.401769443378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16118045)-sin(-0.16122777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987038528410434-0.987030933227662)×R²
    abs(-1.37195407--1.37200200)×7.59518277260174e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.59518277260174e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.59518277260174e-06×40589641000000     		ar = 90865.6650725472m²