Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36915 / 36854
↖ ↑ ↗
← S 21.892084°
E 22.780152°		 ← 566.74 m → S 21.892084°
E 22.785645°		 →
↑
566.76 m
↓
↑
566.76 m
↓
S 21.897181°
E 22.780152°		 ← 566.72 m →
321 204 m²		 S 21.897181°
E 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563285827636719 y=0.562355041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563285827636719 × 216)
    floor (0.563285827636719 × 65536)
    floor (36915.5)     		tx = 36915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562355041503906 × 216)
    floor (0.562355041503906 × 65536)
    floor (36854.5)     		ty = 36854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36915 / 36854 ti = "16/36915/36854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36915/36854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36915 ÷ 216
    36915 ÷ 65536     		x = 0.563278198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36854 ÷ 216
    36854 ÷ 65536     		y = 0.562347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563278198242188 × 2 - 1) × π
    0.126556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39758865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.12469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.391740343695099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39758865} λ = 0.39758865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391740343695099))-π/2
    2×atan(0.675879587574493)-π/2
    2×0.59435368824577-π/2
    1.18870737649154-1.57079632675     		φ = -0.38208895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39758865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.780152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38208895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.892084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36915 KachelY 36854 0.39758865 -0.38208895 22.780152 -21.892084
    Oben rechts KachelX + 1 36916 KachelY 36854 0.39768452 -0.38208895 22.785645 -21.892084
    Unten links KachelX 36915 KachelY + 1 36855 0.39758865 -0.38217791 22.780152 -21.897181
    Unten rechts KachelX + 1 36916 KachelY + 1 36855 0.39768452 -0.38217791 22.785645 -21.897181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38208895--0.38217791) × R
    8.89600000000268e-05 × 6371000     		dl = 566.764160000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38208895--0.38217791) × R
    8.89600000000268e-05 × 6371000     		dr = 566.764160000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39758865-0.39768452) × cos(-0.38208895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927887775613638 × 6371000     		do = 566.742505277302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39758865-0.39768452) × cos(-0.38217791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927854602352718 × 6371000     		du = 566.722243455241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38208895)-sin(-0.38217791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927887775613638-0.927854602352718)×R²
    abs(0.39768452-0.39758865)×3.31732609196722e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31732609196722e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31732609196722e-05×40589641000000     		ar = 321203.598314516m²