Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3691 / 2651
N 76.377796°
W 98.898926°
← 575.42 m → N 76.377796°
W 98.876953°

575.56 m

575.56 m
N 76.372620°
W 98.898926°
← 575.64 m →
331 250 m²
N 76.372620°
W 98.876953°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225311279296875 y=0.161834716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225311279296875 × 214)
    floor (0.225311279296875 × 16384)
    floor (3691.5)
    tx = 3691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161834716796875 × 214)
    floor (0.161834716796875 × 16384)
    floor (2651.5)
    ty = 2651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3691 / 2651 ti = "14/3691/2651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3691/2651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3691 ÷ 214
    3691 ÷ 16384
    x = 0.22528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2651 ÷ 214
    2651 ÷ 16384
    y = 0.16180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.22528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5494384765625 × 3.1415926535
    Λ = -1.72611188
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.16180419921875 × 2 - 1) × π
    0.6763916015625 × 3.1415926535
    Φ = 2.12494688635785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72611188} λ = -1.72611188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12494688635785))-π/2
    2×atan(8.37245278485633)-π/2
    2×1.45192016613464-π/2
    2.90384033226929-1.57079632675
    φ = 1.33304401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72611188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33304401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.377796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3691 KachelY 2651 -1.72611188 1.33304401 -98.898926 76.377796
    Oben rechts KachelX + 1 3692 KachelY 2651 -1.72572839 1.33304401 -98.876953 76.377796
    Unten links KachelX 3691 KachelY + 1 2652 -1.72611188 1.33295367 -98.898926 76.372620
    Unten rechts KachelX + 1 3692 KachelY + 1 2652 -1.72572839 1.33295367 -98.876953 76.372620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.33304401-1.33295367) × R
    9.03400000000776e-05 × 6371000
    dl = 575.556140000494m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.33304401-1.33295367) × R
    9.03400000000776e-05 × 6371000
    dr = 575.556140000494m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72611188--1.72572839) × cos(1.33304401) × R
    0.000383489999999931 × 0.235518767766849 × 6371000
    do = 575.422936730438m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72611188--1.72572839) × cos(1.33295367) × R
    0.000383489999999931 × 0.235606565523478 × 6371000
    du = 575.637445507961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.33304401)-sin(1.33295367))×
    abs(λ12)×abs(0.235518767766849-0.235606565523478)×
    abs(-1.72572839--1.72611188)×8.77977566283994e-05×
    0.000383489999999931×8.77977566283994e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.77977566283994e-05×40589641000000
    ar = 331249.935479976m²