Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36906 / 28734
↖ ↑ ↗
← N 70.556007°
W 78.634644°		 ← 101.67 m → N 70.556007°
W 78.631897°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
N 70.555093°
W 78.634644°		 ← 101.68 m →
10 332 m²		 N 70.555093°
W 78.631897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281574249267578 y=0.219226837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281574249267578 × 217)
    floor (0.281574249267578 × 131072)
    floor (36906.5)     		tx = 36906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219226837158203 × 217)
    floor (0.219226837158203 × 131072)
    floor (28734.5)     		ty = 28734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36906 / 28734 ti = "17/36906/28734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36906/28734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36906 ÷ 217
    36906 ÷ 131072     		x = 0.281570434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28734 ÷ 217
    28734 ÷ 131072     		y = 0.219223022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281570434570312 × 2 - 1) × π
    -0.436859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37243344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219223022460938 × 2 - 1) × π
    0.561553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76417377981731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37243344} λ = -1.37243344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76417377981731))-π/2
    2×atan(5.83674792640094)-π/2
    2×1.40111547985953-π/2
    2.80223095971905-1.57079632675     		φ = 1.23143463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37243344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.634644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23143463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.556007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36906 KachelY 28734 -1.37243344 1.23143463 -78.634644 70.556007
    Oben rechts KachelX + 1 36907 KachelY 28734 -1.37238550 1.23143463 -78.631897 70.556007
    Unten links KachelX 36906 KachelY + 1 28735 -1.37243344 1.23141868 -78.634644 70.555093
    Unten rechts KachelX + 1 36907 KachelY + 1 28735 -1.37238550 1.23141868 -78.631897 70.555093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23143463-1.23141868) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dl = 101.617450000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23143463-1.23141868) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dr = 101.617450000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37243344--1.37238550) × cos(1.23143463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33288526092056 × 6371000     		do = 101.671727151688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37243344--1.37238550) × cos(1.23141868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332900301207278 × 6371000     		du = 101.676320842389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23143463)-sin(1.23141868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33288526092056-0.332900301207278)×R²
    abs(-1.37238550--1.37243344)×1.5040286718504e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5040286718504e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5040286718504e-05×40589641000000     		ar = 10331.8550501104m²