Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36903 / 36857
↖ ↑ ↗
← S 21.907375°
E 22.714233°		 ← 566.68 m → S 21.907375°
E 22.719726°		 →
↑
566.70 m
↓
↑
566.70 m
↓
S 21.912471°
E 22.714233°		 ← 566.66 m →
321 133 m²		 S 21.912471°
E 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563102722167969 y=0.562400817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563102722167969 × 216)
    floor (0.563102722167969 × 65536)
    floor (36903.5)     		tx = 36903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562400817871094 × 216)
    floor (0.562400817871094 × 65536)
    floor (36857.5)     		ty = 36857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36903 / 36857 ti = "16/36903/36857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36903/36857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36903 ÷ 216
    36903 ÷ 65536     		x = 0.563095092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36857 ÷ 216
    36857 ÷ 65536     		y = 0.562393188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563095092773438 × 2 - 1) × π
    0.126190185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39643816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562393188476562 × 2 - 1) × π
    -0.124786376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.392027965092819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39643816} λ = 0.39643816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.392027965092819))-π/2
    2×atan(0.675685218096574)-π/2
    2×0.594220255212862-π/2
    1.18844051042572-1.57079632675     		φ = -0.38235582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39643816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.714233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38235582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.907375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36903 KachelY 36857 0.39643816 -0.38235582 22.714233 -21.907375
    Oben rechts KachelX + 1 36904 KachelY 36857 0.39653403 -0.38235582 22.719726 -21.907375
    Unten links KachelX 36903 KachelY + 1 36858 0.39643816 -0.38244477 22.714233 -21.912471
    Unten rechts KachelX + 1 36904 KachelY + 1 36858 0.39653403 -0.38244477 22.719726 -21.912471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38235582--0.38244477) × R
    8.89499999999765e-05 × 6371000     		dl = 566.700449999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38235582--0.38244477) × R
    8.89499999999765e-05 × 6371000     		dr = 566.700449999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39643816-0.39653403) × cos(-0.38235582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927788237533419 × 6371000     		do = 566.681708635255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39643816-0.39653403) × cos(-0.38244477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927755045977215 × 6371000     		du = 566.661435638659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38235582)-sin(-0.38244477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927788237533419-0.927755045977215)×R²
    abs(0.39653403-0.39643816)×3.31915562035157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31915562035157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31915562035157e-05×40589641000000     		ar = 321133.035143804m²