Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36900 / 36836
↖ ↑ ↗
← S 21.800308°
E 22.697754°		 ← 567.11 m → S 21.800308°
E 22.703247°		 →
↑
567.15 m
↓
↑
567.15 m
↓
S 21.805408°
E 22.697754°		 ← 567.09 m →
321 627 m²		 S 21.805408°
E 22.703247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563056945800781 y=0.562080383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563056945800781 × 216)
    floor (0.563056945800781 × 65536)
    floor (36900.5)     		tx = 36900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562080383300781 × 216)
    floor (0.562080383300781 × 65536)
    floor (36836.5)     		ty = 36836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36900 / 36836 ti = "16/36900/36836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36900/36836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36900 ÷ 216
    36900 ÷ 65536     		x = 0.56304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36836 ÷ 216
    36836 ÷ 65536     		y = 0.56207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56304931640625 × 2 - 1) × π
    0.1260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39615054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56207275390625 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.390014615308777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39615054} λ = 0.39615054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390014615308777))-π/2
    2×atan(0.677046979175196)-π/2
    2×0.595154586683374-π/2
    1.19030917336675-1.57079632675     		φ = -0.38048715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39615054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.697754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38048715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.800308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36900 KachelY 36836 0.39615054 -0.38048715 22.697754 -21.800308
    Oben rechts KachelX + 1 36901 KachelY 36836 0.39624641 -0.38048715 22.703247 -21.800308
    Unten links KachelX 36900 KachelY + 1 36837 0.39615054 -0.38057617 22.697754 -21.805408
    Unten rechts KachelX + 1 36901 KachelY + 1 36837 0.39624641 -0.38057617 22.703247 -21.805408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38048715--0.38057617) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dl = 567.146419999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38048715--0.38057617) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dr = 567.146419999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39615054-0.39624641) × cos(-0.38048715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928483831483904 × 6371000     		do = 567.106568913097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39615054-0.39624641) × cos(-0.38057617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92845076819621 × 6371000     		du = 567.086374261338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38048715)-sin(-0.38057617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928483831483904-0.92845076819621)×R²
    abs(0.39624641-0.39615054)×3.30632876939241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30632876939241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30632876939241e-05×40589641000000     		ar = 321626.73386761m²