Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3690 / 2652
↖ ↑ ↗
← N 76.372620°
W 98.920899°		 ← 575.65 m → N 76.372620°
W 98.898926°		 →
↑
575.75 m
↓
↑
575.75 m
↓
N 76.367442°
W 98.920899°		 ← 575.87 m →
331 492 m²		 N 76.367442°
W 98.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225250244140625 y=0.161895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225250244140625 × 214)
    floor (0.225250244140625 × 16384)
    floor (3690.5)     		tx = 3690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161895751953125 × 214)
    floor (0.161895751953125 × 16384)
    floor (2652.5)     		ty = 2652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3690 / 2652 ti = "14/3690/2652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3690/2652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3690 ÷ 214
    3690 ÷ 16384     		x = 0.2252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2652 ÷ 214
    2652 ÷ 16384     		y = 0.161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.549560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72649538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161865234375 × 2 - 1) × π
    0.67626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12456339116089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72649538} λ = -1.72649538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12456339116089))-π/2
    2×atan(8.36924260501017)-π/2
    2×1.45187499755894-π/2
    2.90374999511787-1.57079632675     		φ = 1.33295367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72649538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.920899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33295367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.372620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3690 KachelY 2652 -1.72649538 1.33295367 -98.920899 76.372620
    Oben rechts KachelX + 1 3691 KachelY 2652 -1.72611188 1.33295367 -98.898926 76.372620
    Unten links KachelX 3690 KachelY + 1 2653 -1.72649538 1.33286330 -98.920899 76.367442
    Unten rechts KachelX + 1 3691 KachelY + 1 2653 -1.72611188 1.33286330 -98.898926 76.367442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33295367-1.33286330) × R
    9.03699999998953e-05 × 6371000     		dl = 575.747269999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33295367-1.33286330) × R
    9.03699999998953e-05 × 6371000     		dr = 575.747269999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72649538--1.72611188) × cos(1.33295367) × R
    0.000383500000000092 × 0.235606565523478 × 6371000     		do = 575.652456002492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72649538--1.72611188) × cos(1.33286330) × R
    0.000383500000000092 × 0.235694390512063 × 6371000     		du = 575.867036908866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33295367)-sin(1.33286330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235606565523478-0.235694390512063)×R²
    abs(-1.72611188--1.72649538)×8.78249885855609e-05×R²
    0.000383500000000092×8.78249885855609e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.78249885855609e-05×40589641000000     		ar = 331492.10242244m²