Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36897 / 36875
↖ ↑ ↗
← S 21.999082°
E 22.681275°		 ← 566.32 m → S 21.999082°
E 22.686768°		 →
↑
566.32 m
↓
↑
566.32 m
↓
S 22.004175°
E 22.681275°		 ← 566.30 m →
320 709 m²		 S 22.004175°
E 22.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563011169433594 y=0.562675476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563011169433594 × 216)
    floor (0.563011169433594 × 65536)
    floor (36897.5)     		tx = 36897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562675476074219 × 216)
    floor (0.562675476074219 × 65536)
    floor (36875.5)     		ty = 36875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36897 / 36875 ti = "16/36897/36875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36897/36875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36897 ÷ 216
    36897 ÷ 65536     		x = 0.563003540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36875 ÷ 216
    36875 ÷ 65536     		y = 0.562667846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563003540039062 × 2 - 1) × π
    0.126007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39586292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562667846679688 × 2 - 1) × π
    -0.125335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.393753693479141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39586292} λ = 0.39586292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393753693479141))-π/2
    2×atan(0.674520174499029)-π/2
    2×0.593419957980585-π/2
    1.18683991596117-1.57079632675     		φ = -0.38395641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39586292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.681275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38395641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.999082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36897 KachelY 36875 0.39586292 -0.38395641 22.681275 -21.999082
    Oben rechts KachelX + 1 36898 KachelY 36875 0.39595879 -0.38395641 22.686768 -21.999082
    Unten links KachelX 36897 KachelY + 1 36876 0.39586292 -0.38404530 22.681275 -22.004175
    Unten rechts KachelX + 1 36898 KachelY + 1 36876 0.39595879 -0.38404530 22.686768 -22.004175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38395641--0.38404530) × R
    8.88899999999526e-05 × 6371000     		dl = 566.318189999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38395641--0.38404530) × R
    8.88899999999526e-05 × 6371000     		dr = 566.318189999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39586292-0.39595879) × cos(-0.38395641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927189857682749 × 6371000     		do = 566.316225540651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39586292-0.39595879) × cos(-0.38404530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927156556560419 × 6371000     		du = 566.295885622405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38395641)-sin(-0.38404530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927189857682749-0.927156556560419)×R²
    abs(0.39595879-0.39586292)×3.33011223299096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33011223299096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33011223299096e-05×40589641000000     		ar = 320709.420593929m²