Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36897 / 30619
↖ ↑ ↗
← N 11.722167°
E 22.681275°		 ← 598.05 m → N 11.722167°
E 22.686768°		 →
↑
598.05 m
↓
↑
598.05 m
↓
N 11.716789°
E 22.681275°		 ← 598.06 m →
357 664 m²		 N 11.716789°
E 22.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563011169433594 y=0.467216491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563011169433594 × 216)
    floor (0.563011169433594 × 65536)
    floor (36897.5)     		tx = 36897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467216491699219 × 216)
    floor (0.467216491699219 × 65536)
    floor (30619.5)     		ty = 30619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36897 / 30619 ti = "16/36897/30619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36897/30619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36897 ÷ 216
    36897 ÷ 65536     		x = 0.563003540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30619 ÷ 216
    30619 ÷ 65536     		y = 0.467208862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563003540039062 × 2 - 1) × π
    0.126007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39586292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467208862304688 × 2 - 1) × π
    0.065582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.206032794567001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39586292} λ = 0.39586292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206032794567001))-π/2
    2×atan(1.22879350108535)-π/2
    2×0.887693368575219-π/2
    1.77538673715044-1.57079632675     		φ = 0.20459041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39586292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.681275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20459041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.722167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36897 KachelY 30619 0.39586292 0.20459041 22.681275 11.722167
    Oben rechts KachelX + 1 36898 KachelY 30619 0.39595879 0.20459041 22.686768 11.722167
    Unten links KachelX 36897 KachelY + 1 30620 0.39586292 0.20449654 22.681275 11.716789
    Unten rechts KachelX + 1 36898 KachelY + 1 30620 0.39595879 0.20449654 22.686768 11.716789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20459041-0.20449654) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dl = 598.045769999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20459041-0.20449654) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dr = 598.045769999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39586292-0.39595879) × cos(0.20459041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979144281464622 × 6371000     		do = 598.049352184016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39586292-0.39595879) × cos(0.20449654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979163348355245 × 6371000     		du = 598.06099800762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20459041)-sin(0.20449654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979144281464622-0.979163348355245)×R²
    abs(0.39595879-0.39586292)×1.90668906222546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90668906222546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90668906222546e-05×40589641000000     		ar = 357664.367955355m²