Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36893 / 30622
↖ ↑ ↗
← N 11.706031°
E 22.659302°		 ← 598.15 m → N 11.706031°
E 22.664795°		 →
↑
598.11 m
↓
↑
598.11 m
↓
N 11.700652°
E 22.659302°		 ← 598.16 m →
357 761 m²		 N 11.700652°
E 22.664795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562950134277344 y=0.467262268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562950134277344 × 216)
    floor (0.562950134277344 × 65536)
    floor (36893.5)     		tx = 36893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467262268066406 × 216)
    floor (0.467262268066406 × 65536)
    floor (30622.5)     		ty = 30622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36893 / 30622 ti = "16/36893/30622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36893/30622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36893 ÷ 216
    36893 ÷ 65536     		x = 0.562942504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30622 ÷ 216
    30622 ÷ 65536     		y = 0.467254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562942504882812 × 2 - 1) × π
    0.125885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39547942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467254638671875 × 2 - 1) × π
    0.06549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.205745173169281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39547942} λ = 0.39547942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205745173169281))-π/2
    2×atan(1.22844012460281)-π/2
    2×0.887552553039456-π/2
    1.77510510607891-1.57079632675     		φ = 0.20430878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39547942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.659302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20430878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.706031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36893 KachelY 30622 0.39547942 0.20430878 22.659302 11.706031
    Oben rechts KachelX + 1 36894 KachelY 30622 0.39557530 0.20430878 22.664795 11.706031
    Unten links KachelX 36893 KachelY + 1 30623 0.39547942 0.20421490 22.659302 11.700652
    Unten rechts KachelX + 1 36894 KachelY + 1 30623 0.39557530 0.20421490 22.664795 11.700652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20430878-0.20421490) × R
    9.38799999999906e-05 × 6371000     		dl = 598.10947999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20430878-0.20421490) × R
    9.38799999999906e-05 × 6371000     		dr = 598.10947999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39547942-0.39557530) × cos(0.20430878) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979201460310209 × 6371000     		do = 598.146661248607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39547942-0.39557530) × cos(0.20421490) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979220503342555 × 6371000     		du = 598.158293713098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20430878)-sin(0.20421490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979201460310209-0.979220503342555)×R²
    abs(0.39557530-0.39547942)×1.9043032345234e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.9043032345234e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.9043032345234e-05×40589641000000     		ar = 357760.667529571m²