Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3689 / 2875
↖ ↑ ↗
← N 47.189713°
W 17.885742°		 ← 3 320.73 m → N 47.189713°
W 17.841797°		 →
↑
3 321.71 m
↓
↑
3 321.71 m
↓
N 47.159840°
W 17.885742°		 ← 3 322.60 m →
11 033 609 m²		 N 47.159840°
W 17.841797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45037841796875 y=0.35101318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45037841796875 × 213)
    floor (0.45037841796875 × 8192)
    floor (3689.5)     		tx = 3689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35101318359375 × 213)
    floor (0.35101318359375 × 8192)
    floor (2875.5)     		ty = 2875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3689 / 2875 ti = "13/3689/2875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3689/2875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3689 ÷ 213
    3689 ÷ 8192     		x = 0.4503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2875 ÷ 213
    2875 ÷ 8192     		y = 0.3509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31216509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3509521484375 × 2 - 1) × π
    0.298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936495270977417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31216509} λ = -0.31216509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936495270977417))-π/2
    2×atan(2.55102508109036)-π/2
    2×1.19720609117568-π/2
    2.39441218235136-1.57079632675     		φ = 0.82361586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31216509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.885742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82361586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.189713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3689 KachelY 2875 -0.31216509 0.82361586 -17.885742 47.189713
    Oben rechts KachelX + 1 3690 KachelY 2875 -0.31139810 0.82361586 -17.841797 47.189713
    Unten links KachelX 3689 KachelY + 1 2876 -0.31216509 0.82309448 -17.885742 47.159840
    Unten rechts KachelX + 1 3690 KachelY + 1 2876 -0.31139810 0.82309448 -17.841797 47.159840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82361586-0.82309448) × R
    0.000521380000000016 × 6371000     		dl = 3321.7119800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82361586-0.82309448) × R
    0.000521380000000016 × 6371000     		dr = 3321.7119800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31216509--0.31139810) × cos(0.82361586) × R
    0.000766989999999967 × 0.679573032262128 × 6371000     		do = 3320.7290622137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31216509--0.31139810) × cos(0.82309448) × R
    0.000766989999999967 × 0.679955428344822 × 6371000     		du = 3322.59763810591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82361586)-sin(0.82309448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679573032262128-0.679955428344822)×R²
    abs(-0.31139810--0.31216509)×0.000382396082694414×R²
    0.000766989999999967×0.000382396082694414×6371000²
    0.000766989999999967×0.000382396082694414×40589641000000     		ar = 11033609.1936974m²