Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36889 / 36845
↖ ↑ ↗
← S 21.846203°
E 22.637329°		 ← 566.92 m → S 21.846203°
E 22.642822°		 →
↑
566.96 m
↓
↑
566.96 m
↓
S 21.851302°
E 22.637329°		 ← 566.90 m →
321 415 m²		 S 21.851302°
E 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562889099121094 y=0.562217712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562889099121094 × 216)
    floor (0.562889099121094 × 65536)
    floor (36889.5)     		tx = 36889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562217712402344 × 216)
    floor (0.562217712402344 × 65536)
    floor (36845.5)     		ty = 36845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36889 / 36845 ti = "16/36889/36845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36889/36845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36889 ÷ 216
    36889 ÷ 65536     		x = 0.562881469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36845 ÷ 216
    36845 ÷ 65536     		y = 0.562210083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562881469726562 × 2 - 1) × π
    0.125762939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39509593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562210083007812 × 2 - 1) × π
    -0.124420166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.390877479501938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39509593} λ = 0.39509593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390877479501938))-π/2
    2×atan(0.676463031549757)-π/2
    2×0.594754073175272-π/2
    1.18950814635054-1.57079632675     		φ = -0.38128818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39509593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.637329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38128818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.846203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36889 KachelY 36845 0.39509593 -0.38128818 22.637329 -21.846203
    Oben rechts KachelX + 1 36890 KachelY 36845 0.39519180 -0.38128818 22.642822 -21.846203
    Unten links KachelX 36889 KachelY + 1 36846 0.39509593 -0.38137717 22.637329 -21.851302
    Unten rechts KachelX + 1 36890 KachelY + 1 36846 0.39519180 -0.38137717 22.642822 -21.851302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38128818--0.38137717) × R
    8.8990000000011e-05 × 6371000     		dl = 566.95529000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38128818--0.38137717) × R
    8.8990000000011e-05 × 6371000     		dr = 566.95529000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39509593-0.39519180) × cos(-0.38128818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928186052861847 × 6371000     		do = 566.924689372577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39509593-0.39519180) × cos(-0.38137717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92815293454388 × 6371000     		du = 566.904461109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38128818)-sin(-0.38137717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928186052861847-0.92815293454388)×R²
    abs(0.39519180-0.39509593)×3.31183179665961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31183179665961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31183179665961e-05×40589641000000     		ar = 321415.217622921m²