Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36888 / 36825
↖ ↑ ↗
← S 21.744194°
E 22.631836°		 ← 567.39 m → S 21.744194°
E 22.637329°		 →
↑
567.34 m
↓
↑
567.34 m
↓
S 21.749296°
E 22.631836°		 ← 567.37 m →
321 895 m²		 S 21.749296°
E 22.637329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562873840332031 y=0.561912536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562873840332031 × 216)
    floor (0.562873840332031 × 65536)
    floor (36888.5)     		tx = 36888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561912536621094 × 216)
    floor (0.561912536621094 × 65536)
    floor (36825.5)     		ty = 36825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36888 / 36825 ti = "16/36888/36825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36888/36825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36888 ÷ 216
    36888 ÷ 65536     		x = 0.5628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36825 ÷ 216
    36825 ÷ 65536     		y = 0.561904907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5628662109375 × 2 - 1) × π
    0.125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39500005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561904907226562 × 2 - 1) × π
    -0.123809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.388960003517136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39500005} λ = 0.39500005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388960003517136))-π/2
    2×atan(0.677761377543188)-π/2
    2×0.595644277491419-π/2
    1.19128855498284-1.57079632675     		φ = -0.37950777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39500005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37950777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.744194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36888 KachelY 36825 0.39500005 -0.37950777 22.631836 -21.744194
    Oben rechts KachelX + 1 36889 KachelY 36825 0.39509593 -0.37950777 22.637329 -21.744194
    Unten links KachelX 36888 KachelY + 1 36826 0.39500005 -0.37959682 22.631836 -21.749296
    Unten rechts KachelX + 1 36889 KachelY + 1 36826 0.39509593 -0.37959682 22.637329 -21.749296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37950777--0.37959682) × R
    8.90499999999794e-05 × 6371000     		dl = 567.337549999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37950777--0.37959682) × R
    8.90499999999794e-05 × 6371000     		dr = 567.337549999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39500005-0.39509593) × cos(-0.37950777) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.928847101248548 × 6371000     		do = 567.387626491342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39500005-0.39509593) × cos(-0.37959682) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.92881410780819 × 6371000     		du = 567.367472399469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37950777)-sin(-0.37959682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928847101248548-0.92881410780819)×R²
    abs(0.39509593-0.39500005)×3.29934403585641e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.29934403585641e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.29934403585641e-05×40589641000000     		ar = 321894.589040143m²