Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36886 / 36828
↖ ↑ ↗
← S 21.759500°
E 22.620850°		 ← 567.27 m → S 21.759500°
E 22.626343°		 →
↑
567.27 m
↓
↑
567.27 m
↓
S 21.764601°
E 22.620850°		 ← 567.25 m →
321 791 m²		 S 21.764601°
E 22.626343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562843322753906 y=0.561958312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562843322753906 × 216)
    floor (0.562843322753906 × 65536)
    floor (36886.5)     		tx = 36886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561958312988281 × 216)
    floor (0.561958312988281 × 65536)
    floor (36828.5)     		ty = 36828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36886 / 36828 ti = "16/36886/36828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36886/36828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36886 ÷ 216
    36886 ÷ 65536     		x = 0.562835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36828 ÷ 216
    36828 ÷ 65536     		y = 0.56195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562835693359375 × 2 - 1) × π
    0.12567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39480831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.389247624914856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39480831} λ = 0.39480831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389247624914856))-π/2
    2×atan(0.677566466900037)-π/2
    2×0.595510706458675-π/2
    1.19102141291735-1.57079632675     		φ = -0.37977491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39480831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.620850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37977491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.759500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36886 KachelY 36828 0.39480831 -0.37977491 22.620850 -21.759500
    Oben rechts KachelX + 1 36887 KachelY 36828 0.39490418 -0.37977491 22.626343 -21.759500
    Unten links KachelX 36886 KachelY + 1 36829 0.39480831 -0.37986395 22.620850 -21.764601
    Unten rechts KachelX + 1 36887 KachelY + 1 36829 0.39490418 -0.37986395 22.626343 -21.764601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37977491--0.37986395) × R
    8.90399999999847e-05 × 6371000     		dl = 567.273839999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37977491--0.37986395) × R
    8.90399999999847e-05 × 6371000     		dr = 567.273839999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39480831-0.39490418) × cos(-0.37977491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928748102538633 × 6371000     		do = 567.26798244129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39480831-0.39490418) × cos(-0.37986395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928715090711612 × 6371000     		du = 567.247819221081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37977491)-sin(-0.37986395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928748102538633-0.928715090711612)×R²
    abs(0.39490418-0.39480831)×3.301182702109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.301182702109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.301182702109e-05×40589641000000     		ar = 321790.567887323m²