Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36884 / 68886
↖ ↑ ↗
← S  9.161756°
W 78.695068°		 ← 301.53 m → S  9.161756°
W 78.692322°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.164467°
W 78.695068°		 ← 301.53 m →
90 923 m²		 S  9.164467°
W 78.692322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281406402587891 y=0.525562286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281406402587891 × 217)
    floor (0.281406402587891 × 131072)
    floor (36884.5)     		tx = 36884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525562286376953 × 217)
    floor (0.525562286376953 × 131072)
    floor (68886.5)     		ty = 68886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36884 / 68886 ti = "17/36884/68886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36884/68886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36884 ÷ 217
    36884 ÷ 131072     		x = 0.281402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68886 ÷ 217
    68886 ÷ 131072     		y = 0.525558471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.43719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37348805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525558471679688 × 2 - 1) × π
    -0.051116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.160588613727188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37348805} λ = -1.37348805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160588613727188))-π/2
    2×atan(0.851642353025004)-π/2
    2×0.705446762391092-π/2
    1.41089352478218-1.57079632675     		φ = -0.15990280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37348805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.695068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15990280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.161756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36884 KachelY 68886 -1.37348805 -0.15990280 -78.695068 -9.161756
    Oben rechts KachelX + 1 36885 KachelY 68886 -1.37344011 -0.15990280 -78.692322 -9.161756
    Unten links KachelX 36884 KachelY + 1 68887 -1.37348805 -0.15995013 -78.695068 -9.164467
    Unten rechts KachelX + 1 36885 KachelY + 1 68887 -1.37344011 -0.15995013 -78.692322 -9.164467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15990280--0.15995013) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dl = 301.5394299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15990280--0.15995013) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dr = 301.5394299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37348805--1.37344011) × cos(-0.15990280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987242764441703 × 6371000     		do = 301.529351889055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37348805--1.37344011) × cos(-0.15995013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987235227346962 × 6371000     		du = 301.527049866316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15990280)-sin(-0.15995013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987242764441703-0.987235227346962)×R²
    abs(-1.37344011--1.37348805)×7.53709474077269e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.53709474077269e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.53709474077269e-06×40589641000000     		ar = 90922.6418385556m²