Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36883 / 69654
↖ ↑ ↗
← S 11.237674°
W 78.697815°		 ← 299.51 m → S 11.237674°
W 78.695068°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
S 11.240368°
W 78.697815°		 ← 299.50 m →
89 702 m²		 S 11.240368°
W 78.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281398773193359 y=0.531421661376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281398773193359 × 217)
    floor (0.281398773193359 × 131072)
    floor (36883.5)     		tx = 36883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531421661376953 × 217)
    floor (0.531421661376953 × 131072)
    floor (69654.5)     		ty = 69654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36883 / 69654 ti = "17/36883/69654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36883/69654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36883 ÷ 217
    36883 ÷ 131072     		x = 0.281394958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69654 ÷ 217
    69654 ÷ 131072     		y = 0.531417846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281394958496094 × 2 - 1) × π
    -0.437210083007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.37353598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531417846679688 × 2 - 1) × π
    -0.062835693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.197404152635391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37353598} λ = -1.37353598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197404152635391))-π/2
    2×atan(0.820858814011385)-π/2
    2×0.687330955458223-π/2
    1.37466191091645-1.57079632675     		φ = -0.19613442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37353598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.697815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19613442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.237674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36883 KachelY 69654 -1.37353598 -0.19613442 -78.697815 -11.237674
    Oben rechts KachelX + 1 36884 KachelY 69654 -1.37348805 -0.19613442 -78.695068 -11.237674
    Unten links KachelX 36883 KachelY + 1 69655 -1.37353598 -0.19618143 -78.697815 -11.240368
    Unten rechts KachelX + 1 36884 KachelY + 1 69655 -1.37348805 -0.19618143 -78.695068 -11.240368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19613442--0.19618143) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dl = 299.500709999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19613442--0.19618143) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dr = 299.500709999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37353598--1.37348805) × cos(-0.19613442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980827225704791 × 6371000     		do = 299.507392720666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37353598--1.37348805) × cos(-0.19618143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.9808180633437 × 6371000     		du = 299.504594883484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19613442)-sin(-0.19618143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980827225704791-0.9808180633437)×R²
    abs(-1.37348805--1.37353598)×9.162361091275e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.162361091275e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.162361091275e-06×40589641000000     		ar = 89702.2578094688m²