Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36883 / 36885
↖ ↑ ↗
← S 22.050005°
E 22.604370°		 ← 566.17 m → S 22.050005°
E 22.609863°		 →
↑
566.13 m
↓
↑
566.13 m
↓
S 22.055096°
E 22.604370°		 ← 566.15 m →
320 519 m²		 S 22.055096°
E 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562797546386719 y=0.562828063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562797546386719 × 216)
    floor (0.562797546386719 × 65536)
    floor (36883.5)     		tx = 36883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562828063964844 × 216)
    floor (0.562828063964844 × 65536)
    floor (36885.5)     		ty = 36885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36883 / 36885 ti = "16/36883/36885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36883/36885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36883 ÷ 216
    36883 ÷ 65536     		x = 0.562789916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36885 ÷ 216
    36885 ÷ 65536     		y = 0.562820434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562789916992188 × 2 - 1) × π
    0.125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39452068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562820434570312 × 2 - 1) × π
    -0.125640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.394712431471542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39452068} λ = 0.39452068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394712431471542))-π/2
    2×atan(0.673873796284283)-π/2
    2×0.592975571770061-π/2
    1.18595114354012-1.57079632675     		φ = -0.38484518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39452068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.604370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38484518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.050005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36883 KachelY 36885 0.39452068 -0.38484518 22.604370 -22.050005
    Oben rechts KachelX + 1 36884 KachelY 36885 0.39461656 -0.38484518 22.609863 -22.050005
    Unten links KachelX 36883 KachelY + 1 36886 0.39452068 -0.38493404 22.604370 -22.055096
    Unten rechts KachelX + 1 36884 KachelY + 1 36886 0.39461656 -0.38493404 22.609863 -22.055096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38484518--0.38493404) × R
    8.88599999999684e-05 × 6371000     		dl = 566.127059999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38484518--0.38493404) × R
    8.88599999999684e-05 × 6371000     		dr = 566.127059999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39452068-0.39461656) × cos(-0.38484518) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.92685656563118 × 6371000     		do = 566.17170486348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39452068-0.39461656) × cos(-0.38493404) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.926823202537706 × 6371000     		du = 566.151324968454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38484518)-sin(-0.38493404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92685656563118-0.926823202537706)×R²
    abs(0.39461656-0.39452068)×3.33630934744589e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.33630934744589e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.33630934744589e-05×40589641000000     		ar = 320519.354135359m²