Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36883 / 36850
↖ ↑ ↗
← S 21.871694°
E 22.604370°		 ← 566.88 m → S 21.871694°
E 22.609863°		 →
↑
566.89 m
↓
↑
566.89 m
↓
S 21.876793°
E 22.604370°		 ← 566.86 m →
321 355 m²		 S 21.876793°
E 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562797546386719 y=0.562294006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562797546386719 × 216)
    floor (0.562797546386719 × 65536)
    floor (36883.5)     		tx = 36883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562294006347656 × 216)
    floor (0.562294006347656 × 65536)
    floor (36850.5)     		ty = 36850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36883 / 36850 ti = "16/36883/36850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36883/36850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36883 ÷ 216
    36883 ÷ 65536     		x = 0.562789916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36850 ÷ 216
    36850 ÷ 65536     		y = 0.562286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562789916992188 × 2 - 1) × π
    0.125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39452068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.12457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.391356848498138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39452068} λ = 0.39452068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391356848498138))-π/2
    2×atan(0.676138833856726)-π/2
    2×0.594531621215628-π/2
    1.18906324243126-1.57079632675     		φ = -0.38173308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39452068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.604370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38173308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.871694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36883 KachelY 36850 0.39452068 -0.38173308 22.604370 -21.871694
    Oben rechts KachelX + 1 36884 KachelY 36850 0.39461656 -0.38173308 22.609863 -21.871694
    Unten links KachelX 36883 KachelY + 1 36851 0.39452068 -0.38182206 22.604370 -21.876793
    Unten rechts KachelX + 1 36884 KachelY + 1 36851 0.39461656 -0.38182206 22.609863 -21.876793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38173308--0.38182206) × R
    8.89800000000163e-05 × 6371000     		dl = 566.891580000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38173308--0.38182206) × R
    8.89800000000163e-05 × 6371000     		dr = 566.891580000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39452068-0.39461656) × cos(-0.38173308) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.928020406398633 × 6371000     		do = 566.882638718763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39452068-0.39461656) × cos(-0.38182206) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.927987255062302 × 6371000     		du = 566.862388175901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38173308)-sin(-0.38182206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928020406398633-0.927987255062302)×R²
    abs(0.39461656-0.39452068)×3.31513363309721e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.31513363309721e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.31513363309721e-05×40589641000000     		ar = 321355.255018703m²