Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36883 / 36821
↖ ↑ ↗
← S 21.723783°
E 22.604370°		 ← 567.47 m → S 21.723783°
E 22.609863°		 →
↑
567.40 m
↓
↑
567.40 m
↓
S 21.728886°
E 22.604370°		 ← 567.45 m →
321 976 m²		 S 21.728886°
E 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562797546386719 y=0.561851501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562797546386719 × 216)
    floor (0.562797546386719 × 65536)
    floor (36883.5)     		tx = 36883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561851501464844 × 216)
    floor (0.561851501464844 × 65536)
    floor (36821.5)     		ty = 36821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36883 / 36821 ti = "16/36883/36821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36883/36821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36883 ÷ 216
    36883 ÷ 65536     		x = 0.562789916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36821 ÷ 216
    36821 ÷ 65536     		y = 0.561843872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562789916992188 × 2 - 1) × π
    0.125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39452068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561843872070312 × 2 - 1) × π
    -0.123687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.388576508320175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39452068} λ = 0.39452068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388576508320175))-π/2
    2×atan(0.678021345621229)-π/2
    2×0.595822394340854-π/2
    1.19164478868171-1.57079632675     		φ = -0.37915154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39452068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.604370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37915154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.723783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36883 KachelY 36821 0.39452068 -0.37915154 22.604370 -21.723783
    Oben rechts KachelX + 1 36884 KachelY 36821 0.39461656 -0.37915154 22.609863 -21.723783
    Unten links KachelX 36883 KachelY + 1 36822 0.39452068 -0.37924060 22.604370 -21.728886
    Unten rechts KachelX + 1 36884 KachelY + 1 36822 0.39461656 -0.37924060 22.609863 -21.728886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37915154--0.37924060) × R
    8.90599999999742e-05 × 6371000     		dl = 567.401259999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37915154--0.37924060) × R
    8.90599999999742e-05 × 6371000     		dr = 567.401259999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39452068-0.39461656) × cos(-0.37915154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.92897901245467 × 6371000     		do = 567.46820464683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39452068-0.39461656) × cos(-0.37924060) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.928946044778879 × 6371000     		du = 567.448066293281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37915154)-sin(-0.37924060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92897901245467-0.928946044778879)×R²
    abs(0.39461656-0.39452068)×3.29676757911956e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.29676757911956e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.29676757911956e-05×40589641000000     		ar = 321976.461275614m²