Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36882 / 36852
↖ ↑ ↗
← S 21.881890°
E 22.598877°		 ← 566.78 m → S 21.881890°
E 22.604370°		 →
↑
566.83 m
↓
↑
566.83 m
↓
S 21.886987°
E 22.598877°		 ← 566.76 m →
321 263 m²		 S 21.886987°
E 22.604370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562782287597656 y=0.562324523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562782287597656 × 216)
    floor (0.562782287597656 × 65536)
    floor (36882.5)     		tx = 36882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562324523925781 × 216)
    floor (0.562324523925781 × 65536)
    floor (36852.5)     		ty = 36852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36882 / 36852 ti = "16/36882/36852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36882/36852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36882 ÷ 216
    36882 ÷ 65536     		x = 0.562774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36852 ÷ 216
    36852 ÷ 65536     		y = 0.56231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562774658203125 × 2 - 1) × π
    0.12554931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39442481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.391548596096619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39442481} λ = 0.39442481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391548596096619))-π/2
    2×atan(0.676009198288146)-π/2
    2×0.594442651551781-π/2
    1.18888530310356-1.57079632675     		φ = -0.38191102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39442481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.598877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38191102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.881890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36882 KachelY 36852 0.39442481 -0.38191102 22.598877 -21.881890
    Oben rechts KachelX + 1 36883 KachelY 36852 0.39452068 -0.38191102 22.604370 -21.881890
    Unten links KachelX 36882 KachelY + 1 36853 0.39442481 -0.38199999 22.598877 -21.886987
    Unten rechts KachelX + 1 36883 KachelY + 1 36853 0.39452068 -0.38199999 22.604370 -21.886987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38191102--0.38199999) × R
    8.89700000000215e-05 × 6371000     		dl = 566.827870000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38191102--0.38199999) × R
    8.89700000000215e-05 × 6371000     		dr = 566.827870000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39442481-0.39452068) × cos(-0.38191102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927954103832577 × 6371000     		do = 566.783017742236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39442481-0.39452068) × cos(-0.38199999) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927920941531363 × 6371000     		du = 566.762762614229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38191102)-sin(-0.38199999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927954103832577-0.927920941531363)×R²
    abs(0.39452068-0.39442481)×3.31623012140847e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31623012140847e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31623012140847e-05×40589641000000     		ar = 321262.670325543m²