Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36881 / 68889
↖ ↑ ↗
← S  9.169890°
W 78.703308°		 ← 301.52 m → S  9.169890°
W 78.700561°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.172602°
W 78.703308°		 ← 301.52 m →
90 901 m²		 S  9.172602°
W 78.700561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281383514404297 y=0.525585174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281383514404297 × 217)
    floor (0.281383514404297 × 131072)
    floor (36881.5)     		tx = 36881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525585174560547 × 217)
    floor (0.525585174560547 × 131072)
    floor (68889.5)     		ty = 68889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36881 / 68889 ti = "17/36881/68889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36881/68889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36881 ÷ 217
    36881 ÷ 131072     		x = 0.281379699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68889 ÷ 217
    68889 ÷ 131072     		y = 0.525581359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281379699707031 × 2 - 1) × π
    -0.437240600585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.37363186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525581359863281 × 2 - 1) × π
    -0.0511627197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.160732424426048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37363186} λ = -1.37363186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160732424426048))-π/2
    2×atan(0.851519886549243)-π/2
    2×0.705375775168135-π/2
    1.41075155033627-1.57079632675     		φ = -0.16004478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37363186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.703308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16004478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.169890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36881 KachelY 68889 -1.37363186 -0.16004478 -78.703308 -9.169890
    Oben rechts KachelX + 1 36882 KachelY 68889 -1.37358392 -0.16004478 -78.700561 -9.169890
    Unten links KachelX 36881 KachelY + 1 68890 -1.37363186 -0.16009210 -78.703308 -9.172602
    Unten rechts KachelX + 1 36882 KachelY + 1 68890 -1.37358392 -0.16009210 -78.700561 -9.172602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16004478--0.16009210) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16004478--0.16009210) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37363186--1.37358392) × cos(-0.16004478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987220148116519 × 6371000     		do = 301.5224442812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37363186--1.37358392) × cos(-0.16009210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987212605981785 × 6371000     		du = 301.520140719117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16004478)-sin(-0.16009210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987220148116519-0.987212605981785)×R²
    abs(-1.37358392--1.37363186)×7.54213473386223e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54213473386223e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54213473386223e-06×40589641000000     		ar = 90901.3487687993m²