Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36880 / 68880
↖ ↑ ↗
← S  9.145486°
W 78.706055°		 ← 301.54 m → S  9.145486°
W 78.703308°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.148198°
W 78.706055°		 ← 301.54 m →
90 927 m²		 S  9.148198°
W 78.703308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281375885009766 y=0.525516510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281375885009766 × 217)
    floor (0.281375885009766 × 131072)
    floor (36880.5)     		tx = 36880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525516510009766 × 217)
    floor (0.525516510009766 × 131072)
    floor (68880.5)     		ty = 68880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36880 / 68880 ti = "17/36880/68880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36880/68880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36880 ÷ 217
    36880 ÷ 131072     		x = 0.2813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68880 ÷ 217
    68880 ÷ 131072     		y = 0.5255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37367980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.160300992329468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37367980} λ = -1.37367980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160300992329468))-π/2
    2×atan(0.851887338818829)-π/2
    2×0.705588741712035-π/2
    1.41117748342407-1.57079632675     		φ = -0.15961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37367980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.145486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36880 KachelY 68880 -1.37367980 -0.15961884 -78.706055 -9.145486
    Oben rechts KachelX + 1 36881 KachelY 68880 -1.37363186 -0.15961884 -78.703308 -9.145486
    Unten links KachelX 36880 KachelY + 1 68881 -1.37367980 -0.15966617 -78.706055 -9.148198
    Unten rechts KachelX + 1 36881 KachelY + 1 68881 -1.37363186 -0.15966617 -78.703308 -9.148198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15961884--0.15966617) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dl = 301.5394299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15961884--0.15966617) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dr = 301.5394299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37367980--1.37363186) × cos(-0.15961884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987287937388147 × 6371000     		do = 301.543148869651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37367980--1.37363186) × cos(-0.15966617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987280413562031 × 6371000     		du = 301.540850899492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15961884)-sin(-0.15966617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987287937388147-0.987280413562031)×R²
    abs(-1.37363186--1.37367980)×7.52382611590718e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.52382611590718e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.52382611590718e-06×40589641000000     		ar = 90926.8027831642m²