Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3688 / 1686
↖ ↑ ↗
← N 72.100944°
W 17.929687°		 ← 1 501.82 m → N 72.100944°
W 17.885742°		 →
↑
1 502.35 m
↓
↑
1 502.35 m
↓
N 72.087433°
W 17.929687°		 ← 1 502.92 m →
2 257 075 m²		 N 72.087433°
W 17.885742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45025634765625 y=0.20587158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45025634765625 × 213)
    floor (0.45025634765625 × 8192)
    floor (3688.5)     		tx = 3688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20587158203125 × 213)
    floor (0.20587158203125 × 8192)
    floor (1686.5)     		ty = 1686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3688 / 1686 ti = "13/3688/1686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3688/1686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3688 ÷ 213
    3688 ÷ 8192     		x = 0.4501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1686 ÷ 213
    1686 ÷ 8192     		y = 0.205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4501953125 × 2 - 1) × π
    -0.099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31293208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205810546875 × 2 - 1) × π
    0.58837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84844684934937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31293208} λ = -0.31293208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84844684934937))-π/2
    2×atan(6.34994943162561)-π/2
    2×1.41459759319756-π/2
    2.82919518639513-1.57079632675     		φ = 1.25839886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31293208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25839886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.100944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3688 KachelY 1686 -0.31293208 1.25839886 -17.929687 72.100944
    Oben rechts KachelX + 1 3689 KachelY 1686 -0.31216509 1.25839886 -17.885742 72.100944
    Unten links KachelX 3688 KachelY + 1 1687 -0.31293208 1.25816305 -17.929687 72.087433
    Unten rechts KachelX + 1 3689 KachelY + 1 1687 -0.31216509 1.25816305 -17.885742 72.087433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25839886-1.25816305) × R
    0.000235809999999947 × 6371000     		dl = 1502.34550999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25839886-1.25816305) × R
    0.000235809999999947 × 6371000     		dr = 1502.34550999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31293208--0.31216509) × cos(1.25839886) × R
    0.000766990000000023 × 0.307340945652905 × 6371000     		do = 1501.81946867522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31293208--0.31216509) × cos(1.25816305) × R
    0.000766990000000023 × 0.307565333775778 × 6371000     		du = 1502.91593973199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25839886)-sin(1.25816305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307340945652905-0.307565333775778)×R²
    abs(-0.31216509--0.31293208)×0.000224388122872621×R²
    0.000766990000000023×0.000224388122872621×6371000²
    0.000766990000000023×0.000224388122872621×40589641000000     		ar = 2257075.38523888m²