Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36877 / 36835
↖ ↑ ↗
← S 21.795207°
E 22.571411°		 ← 567.13 m → S 21.795207°
E 22.576904°		 →
↑
567.15 m
↓
↑
567.15 m
↓
S 21.800308°
E 22.571411°		 ← 567.11 m →
321 638 m²		 S 21.800308°
E 22.576904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562705993652344 y=0.562065124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562705993652344 × 216)
    floor (0.562705993652344 × 65536)
    floor (36877.5)     		tx = 36877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562065124511719 × 216)
    floor (0.562065124511719 × 65536)
    floor (36835.5)     		ty = 36835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36877 / 36835 ti = "16/36877/36835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36877/36835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36877 ÷ 216
    36877 ÷ 65536     		x = 0.562698364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36835 ÷ 216
    36835 ÷ 65536     		y = 0.562057495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562698364257812 × 2 - 1) × π
    0.125396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39394544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562057495117188 × 2 - 1) × π
    -0.124114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.389918741509537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39394544} λ = 0.39394544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389918741509537))-π/2
    2×atan(0.677111893353088)-π/2
    2×0.595199096111855-π/2
    1.19039819222371-1.57079632675     		φ = -0.38039813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39394544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.571411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38039813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.795207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36877 KachelY 36835 0.39394544 -0.38039813 22.571411 -21.795207
    Oben rechts KachelX + 1 36878 KachelY 36835 0.39404131 -0.38039813 22.576904 -21.795207
    Unten links KachelX 36877 KachelY + 1 36836 0.39394544 -0.38048715 22.571411 -21.800308
    Unten rechts KachelX + 1 36878 KachelY + 1 36836 0.39404131 -0.38048715 22.576904 -21.800308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38039813--0.38048715) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dl = 567.146419999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38039813--0.38048715) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dr = 567.146419999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39394544-0.39404131) × cos(-0.38039813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928516887413772 × 6371000     		do = 567.126759070786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39394544-0.39404131) × cos(-0.38048715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928483831483904 × 6371000     		du = 567.106568913097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38039813)-sin(-0.38048715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928516887413772-0.928483831483904)×R²
    abs(0.39404131-0.39394544)×3.30559298677979e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30559298677979e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30559298677979e-05×40589641000000     		ar = 321638.185917649m²