Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36877 / 30473
↖ ↑ ↗
← N 12.506303°
E 22.571411°		 ← 596.30 m → N 12.506303°
E 22.576904°		 →
↑
596.33 m
↓
↑
596.33 m
↓
N 12.500940°
E 22.571411°		 ← 596.31 m →
355 590 m²		 N 12.500940°
E 22.576904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562705993652344 y=0.464988708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562705993652344 × 216)
    floor (0.562705993652344 × 65536)
    floor (36877.5)     		tx = 36877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464988708496094 × 216)
    floor (0.464988708496094 × 65536)
    floor (30473.5)     		ty = 30473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36877 / 30473 ti = "16/36877/30473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36877/30473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36877 ÷ 216
    36877 ÷ 65536     		x = 0.562698364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30473 ÷ 216
    30473 ÷ 65536     		y = 0.464981079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562698364257812 × 2 - 1) × π
    0.125396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39394544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464981079101562 × 2 - 1) × π
    0.070037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.220030369256058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39394544} λ = 0.39394544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220030369256058))-π/2
    2×atan(1.24611457358531)-π/2
    2×0.894536242495556-π/2
    1.78907248499111-1.57079632675     		φ = 0.21827616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39394544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.571411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21827616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.506303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36877 KachelY 30473 0.39394544 0.21827616 22.571411 12.506303
    Oben rechts KachelX + 1 36878 KachelY 30473 0.39404131 0.21827616 22.576904 12.506303
    Unten links KachelX 36877 KachelY + 1 30474 0.39394544 0.21818256 22.571411 12.500940
    Unten rechts KachelX + 1 36878 KachelY + 1 30474 0.39404131 0.21818256 22.576904 12.500940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21827616-0.21818256) × R
    9.35999999999992e-05 × 6371000     		dl = 596.325599999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21827616-0.21818256) × R
    9.35999999999992e-05 × 6371000     		dr = 596.325599999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39394544-0.39404131) × cos(0.21827616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976272192097789 × 6371000     		do = 596.295115124407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39394544-0.39404131) × cos(0.21818256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976292456621225 × 6371000     		du = 596.307492447486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21827616)-sin(0.21818256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976272192097789-0.976292456621225)×R²
    abs(0.39404131-0.39394544)×2.02645234351762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02645234351762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02645234351762e-05×40589641000000     		ar = 355589.733020608m²