Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36876 / 36815
↖ ↑ ↗
← S 21.693161°
E 22.565918°		 ← 567.53 m → S 21.693161°
E 22.571411°		 →
↑
567.53 m
↓
↑
567.53 m
↓
S 21.698265°
E 22.565918°		 ← 567.51 m →
322 084 m²		 S 21.698265°
E 22.571411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562690734863281 y=0.561759948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562690734863281 × 216)
    floor (0.562690734863281 × 65536)
    floor (36876.5)     		tx = 36876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561759948730469 × 216)
    floor (0.561759948730469 × 65536)
    floor (36815.5)     		ty = 36815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36876 / 36815 ti = "16/36876/36815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36876/36815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36876 ÷ 216
    36876 ÷ 65536     		x = 0.56268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36815 ÷ 216
    36815 ÷ 65536     		y = 0.561752319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56268310546875 × 2 - 1) × π
    0.1253662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39384957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561752319335938 × 2 - 1) × π
    -0.123504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.388001265524735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39384957} λ = 0.39384957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388001265524735))-π/2
    2×atan(0.678411484717047)-π/2
    2×0.596089617017332-π/2
    1.19217923403466-1.57079632675     		φ = -0.37861709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39384957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.565918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37861709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.693161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36876 KachelY 36815 0.39384957 -0.37861709 22.565918 -21.693161
    Oben rechts KachelX + 1 36877 KachelY 36815 0.39394544 -0.37861709 22.571411 -21.693161
    Unten links KachelX 36876 KachelY + 1 36816 0.39384957 -0.37870617 22.565918 -21.698265
    Unten rechts KachelX + 1 36877 KachelY + 1 36816 0.39394544 -0.37870617 22.571411 -21.698265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37861709--0.37870617) × R
    8.90800000000191e-05 × 6371000     		dl = 567.528680000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37861709--0.37870617) × R
    8.90800000000191e-05 × 6371000     		dr = 567.528680000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39384957-0.39394544) × cos(-0.37861709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929176697031781 × 6371000     		do = 567.529762715994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39384957-0.39394544) × cos(-0.37870617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929143766183191 × 6371000     		du = 567.50964895642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37861709)-sin(-0.37870617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929176697031781-0.929143766183191)×R²
    abs(0.39394544-0.39384957)×3.29308485900182e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29308485900182e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29308485900182e-05×40589641000000     		ar = 322083.709740296m²