Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36875 / 36812
↖ ↑ ↗
← S 21.677848°
E 22.560425°		 ← 567.65 m → S 21.677848°
E 22.565918°		 →
↑
567.59 m
↓
↑
567.59 m
↓
S 21.682953°
E 22.560425°		 ← 567.63 m →
322 188 m²		 S 21.682953°
E 22.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562675476074219 y=0.561714172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562675476074219 × 216)
    floor (0.562675476074219 × 65536)
    floor (36875.5)     		tx = 36875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561714172363281 × 216)
    floor (0.561714172363281 × 65536)
    floor (36812.5)     		ty = 36812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36875 / 36812 ti = "16/36875/36812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36875/36812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36875 ÷ 216
    36875 ÷ 65536     		x = 0.562667846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36812 ÷ 216
    36812 ÷ 65536     		y = 0.56170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562667846679688 × 2 - 1) × π
    0.125335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39375369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56170654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1234130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.387713644127014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39375369} λ = 0.39375369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387713644127014))-π/2
    2×atan(0.678606638440359)-π/2
    2×0.596223249669224-π/2
    1.19244649933845-1.57079632675     		φ = -0.37834983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39375369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.560425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37834983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.677848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36875 KachelY 36812 0.39375369 -0.37834983 22.560425 -21.677848
    Oben rechts KachelX + 1 36876 KachelY 36812 0.39384957 -0.37834983 22.565918 -21.677848
    Unten links KachelX 36875 KachelY + 1 36813 0.39375369 -0.37843892 22.560425 -21.682953
    Unten rechts KachelX + 1 36876 KachelY + 1 36813 0.39384957 -0.37843892 22.565918 -21.682953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37834983--0.37843892) × R
    8.90900000000139e-05 × 6371000     		dl = 567.592390000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37834983--0.37843892) × R
    8.90900000000139e-05 × 6371000     		dr = 567.592390000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39375369-0.39384957) × cos(-0.37834983) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.92927545272478 × 6371000     		do = 567.649285624558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39375369-0.39384957) × cos(-0.37843892) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.929242540303664 × 6371000     		du = 567.629181023409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37834983)-sin(-0.37843892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92927545272478-0.929242540303664)×R²
    abs(0.39384957-0.39375369)×3.29124211156939e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.29124211156939e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.29124211156939e-05×40589641000000     		ar = 322187.709313312m²