Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36873 / 69656
↖ ↑ ↗
← S 11.243062°
W 78.725281°		 ← 299.50 m → S 11.243062°
W 78.722534°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.245756°
W 78.725281°		 ← 299.50 m →
89 720 m²		 S 11.245756°
W 78.722534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281322479248047 y=0.531436920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281322479248047 × 217)
    floor (0.281322479248047 × 131072)
    floor (36873.5)     		tx = 36873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531436920166016 × 217)
    floor (0.531436920166016 × 131072)
    floor (69656.5)     		ty = 69656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36873 / 69656 ti = "17/36873/69656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36873/69656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36873 ÷ 217
    36873 ÷ 131072     		x = 0.281318664550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69656 ÷ 217
    69656 ÷ 131072     		y = 0.53143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281318664550781 × 2 - 1) × π
    -0.437362670898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.37401535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.197500026434631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37401535} λ = -1.37401535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197500026434631))-π/2
    2×atan(0.820780118930705)-π/2
    2×0.687283938081224-π/2
    1.37456787616245-1.57079632675     		φ = -0.19622845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37401535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.725281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19622845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.243062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36873 KachelY 69656 -1.37401535 -0.19622845 -78.725281 -11.243062
    Oben rechts KachelX + 1 36874 KachelY 69656 -1.37396742 -0.19622845 -78.722534 -11.243062
    Unten links KachelX 36873 KachelY + 1 69657 -1.37401535 -0.19627547 -78.725281 -11.245756
    Unten rechts KachelX + 1 36874 KachelY + 1 69657 -1.37396742 -0.19627547 -78.722534 -11.245756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19622845--0.19627547) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19622845--0.19627547) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37401535--1.37396742) × cos(-0.19622845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980808896865344 × 6371000     		do = 299.501795789045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37401535--1.37396742) × cos(-0.19627547) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980799728218537 × 6371000     		du = 299.498996032444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19622845)-sin(-0.19627547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980808896865344-0.980799728218537)×R²
    abs(-1.37396742--1.37401535)×9.16864680711171e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.16864680711171e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.16864680711171e-06×40589641000000     		ar = 89719.6624073473m²