Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36873 / 20491
↖ ↑ ↗
← N 76.833937°
W 78.725281°		 ← 69.55 m → N 76.833937°
W 78.722534°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.833311°
W 78.725281°		 ← 69.56 m →
4 839 m²		 N 76.833311°
W 78.722534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281322479248047 y=0.156337738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281322479248047 × 217)
    floor (0.281322479248047 × 131072)
    floor (36873.5)     		tx = 36873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156337738037109 × 217)
    floor (0.156337738037109 × 131072)
    floor (20491.5)     		ty = 20491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36873 / 20491 ti = "17/36873/20491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36873/20491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36873 ÷ 217
    36873 ÷ 131072     		x = 0.281318664550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20491 ÷ 217
    20491 ÷ 131072     		y = 0.156333923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281318664550781 × 2 - 1) × π
    -0.437362670898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.37401535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156333923339844 × 2 - 1) × π
    0.687332153320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.15931764338543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37401535} λ = -1.37401535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15931764338543))-π/2
    2×atan(8.66522286855386)-π/2
    2×1.45590074864858-π/2
    2.91180149729716-1.57079632675     		φ = 1.34100517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37401535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.725281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34100517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.833937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36873 KachelY 20491 -1.37401535 1.34100517 -78.725281 76.833937
    Oben rechts KachelX + 1 36874 KachelY 20491 -1.37396742 1.34100517 -78.722534 76.833937
    Unten links KachelX 36873 KachelY + 1 20492 -1.37401535 1.34099425 -78.725281 76.833311
    Unten rechts KachelX + 1 36874 KachelY + 1 20492 -1.37396742 1.34099425 -78.722534 76.833311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34100517-1.34099425) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34100517-1.34099425) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37401535--1.37396742) × cos(1.34100517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227774174954357 × 6371000     		do = 69.5535844456802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37401535--1.37396742) × cos(1.34099425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227784807897496 × 6371000     		du = 69.556831342782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34100517)-sin(1.34099425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227774174954357-0.227784807897496)×R²
    abs(-1.37396742--1.37401535)×1.06329431389662e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06329431389662e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06329431389662e-05×40589641000000     		ar = 4839.04762621595m²