Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36872 / 28696
↖ ↑ ↗
← N 70.590721°
W 78.728027°		 ← 101.50 m → N 70.590721°
W 78.725281°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
N 70.589808°
W 78.728027°		 ← 101.50 m →
10 301 m²		 N 70.589808°
W 78.725281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281314849853516 y=0.218936920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281314849853516 × 217)
    floor (0.281314849853516 × 131072)
    floor (36872.5)     		tx = 36872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218936920166016 × 217)
    floor (0.218936920166016 × 131072)
    floor (28696.5)     		ty = 28696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36872 / 28696 ti = "17/36872/28696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36872/28696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36872 ÷ 217
    36872 ÷ 131072     		x = 0.28131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28696 ÷ 217
    28696 ÷ 131072     		y = 0.21893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28131103515625 × 2 - 1) × π
    -0.4373779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37406329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21893310546875 × 2 - 1) × π
    0.5621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76599538200287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37406329} λ = -1.37406329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76599538200287))-π/2
    2×atan(5.8473898489122)-π/2
    2×1.40141841184853-π/2
    2.80283682369706-1.57079632675     		φ = 1.23204050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37406329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23204050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.590721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36872 KachelY 28696 -1.37406329 1.23204050 -78.728027 70.590721
    Oben rechts KachelX + 1 36873 KachelY 28696 -1.37401535 1.23204050 -78.725281 70.590721
    Unten links KachelX 36872 KachelY + 1 28697 -1.37406329 1.23202457 -78.728027 70.589808
    Unten rechts KachelX + 1 36873 KachelY + 1 28697 -1.37401535 1.23202457 -78.725281 70.589808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23204050-1.23202457) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23204050-1.23202457) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37406329--1.37401535) × cos(1.23204050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332313884236125 × 6371000     		do = 101.497214005026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37406329--1.37401535) × cos(1.23202457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332328908873763 × 6371000     		du = 101.501802916095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23204050)-sin(1.23202457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332313884236125-0.332328908873763)×R²
    abs(-1.37401535--1.37406329)×1.50246376381391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50246376381391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50246376381391e-05×40589641000000     		ar = 10301.1881589349m²