Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36871 / 30479
↖ ↑ ↗
← N 12.474124°
E 22.538452°		 ← 596.37 m → N 12.474124°
E 22.543945°		 →
↑
596.39 m
↓
↑
596.39 m
↓
N 12.468760°
E 22.538452°		 ← 596.38 m →
355 672 m²		 N 12.468760°
E 22.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562614440917969 y=0.465080261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562614440917969 × 216)
    floor (0.562614440917969 × 65536)
    floor (36871.5)     		tx = 36871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465080261230469 × 216)
    floor (0.465080261230469 × 65536)
    floor (30479.5)     		ty = 30479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36871 / 30479 ti = "16/36871/30479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36871/30479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36871 ÷ 216
    36871 ÷ 65536     		x = 0.562606811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30479 ÷ 216
    30479 ÷ 65536     		y = 0.465072631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562606811523438 × 2 - 1) × π
    0.125213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39337020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465072631835938 × 2 - 1) × π
    0.069854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.219455126460617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39337020} λ = 0.39337020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219455126460617))-π/2
    2×atan(1.24539796128735)-π/2
    2×0.894255428248012-π/2
    1.78851085649602-1.57079632675     		φ = 0.21771453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39337020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21771453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.474124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36871 KachelY 30479 0.39337020 0.21771453 22.538452 12.474124
    Oben rechts KachelX + 1 36872 KachelY 30479 0.39346607 0.21771453 22.543945 12.474124
    Unten links KachelX 36871 KachelY + 1 30480 0.39337020 0.21762092 22.538452 12.468760
    Unten rechts KachelX + 1 36872 KachelY + 1 30480 0.39346607 0.21762092 22.543945 12.468760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21771453-0.21762092) × R
    9.3609999999994e-05 × 6371000     		dl = 596.389309999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21771453-0.21762092) × R
    9.3609999999994e-05 × 6371000     		dr = 596.389309999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39337020-0.39346607) × cos(0.21771453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976393657415926 × 6371000     		do = 596.369304655204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39337020-0.39346607) × cos(0.21762092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976413872773476 × 6371000     		du = 596.381651948362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21771453)-sin(0.21762092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976393657415926-0.976413872773476)×R²
    abs(0.39346607-0.39337020)×2.02153575508124e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02153575508124e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02153575508124e-05×40589641000000     		ar = 355671.960264948m²