Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36871 / 28682
↖ ↑ ↗
← N 70.603495°
W 78.730774°		 ← 101.43 m → N 70.603495°
W 78.728027°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
N 70.602583°
W 78.730774°		 ← 101.44 m →
10 288 m²		 N 70.602583°
W 78.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281307220458984 y=0.218830108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281307220458984 × 217)
    floor (0.281307220458984 × 131072)
    floor (36871.5)     		tx = 36871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218830108642578 × 217)
    floor (0.218830108642578 × 131072)
    floor (28682.5)     		ty = 28682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36871 / 28682 ti = "17/36871/28682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36871/28682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36871 ÷ 217
    36871 ÷ 131072     		x = 0.281303405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28682 ÷ 217
    28682 ÷ 131072     		y = 0.218826293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281303405761719 × 2 - 1) × π
    -0.437393188476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.37411123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218826293945312 × 2 - 1) × π
    0.562347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76666649859755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37411123} λ = -1.37411123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76666649859755))-π/2
    2×atan(5.85131544639484)-π/2
    2×1.4015298872454-π/2
    2.8030597744908-1.57079632675     		φ = 1.23226345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37411123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.730774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23226345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.603495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36871 KachelY 28682 -1.37411123 1.23226345 -78.730774 70.603495
    Oben rechts KachelX + 1 36872 KachelY 28682 -1.37406329 1.23226345 -78.728027 70.603495
    Unten links KachelX 36871 KachelY + 1 28683 -1.37411123 1.23224753 -78.730774 70.602583
    Unten rechts KachelX + 1 36872 KachelY + 1 28683 -1.37406329 1.23224753 -78.728027 70.602583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23226345-1.23224753) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23226345-1.23224753) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37411123--1.37406329) × cos(1.23226345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332103596483323 × 6371000     		do = 101.432986712514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37411123--1.37406329) × cos(1.23224753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332118612868482 × 6371000     		du = 101.437573103063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23226345)-sin(1.23224753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332103596483323-0.332118612868482)×R²
    abs(-1.37406329--1.37411123)×1.50163851589946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50163851589946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50163851589946e-05×40589641000000     		ar = 10288.2071594577m²