Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36870 / 69642
↖ ↑ ↗
← S 11.205345°
W 78.733520°		 ← 299.54 m → S 11.205345°
W 78.730774°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.208039°
W 78.733520°		 ← 299.54 m →
89 731 m²		 S 11.208039°
W 78.730774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281299591064453 y=0.531330108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281299591064453 × 217)
    floor (0.281299591064453 × 131072)
    floor (36870.5)     		tx = 36870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531330108642578 × 217)
    floor (0.531330108642578 × 131072)
    floor (69642.5)     		ty = 69642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36870 / 69642 ti = "17/36870/69642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36870/69642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36870 ÷ 217
    36870 ÷ 131072     		x = 0.281295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69642 ÷ 217
    69642 ÷ 131072     		y = 0.531326293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.437408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37415916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531326293945312 × 2 - 1) × π
    -0.062652587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.196828909839951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37415916} λ = -1.37415916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.196828909839951))-π/2
    2×atan(0.821331142969109)-π/2
    2×0.687613078154159-π/2
    1.37522615630832-1.57079632675     		φ = -0.19557017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37415916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.733520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19557017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.205345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36870 KachelY 69642 -1.37415916 -0.19557017 -78.733520 -11.205345
    Oben rechts KachelX + 1 36871 KachelY 69642 -1.37411123 -0.19557017 -78.730774 -11.205345
    Unten links KachelX 36870 KachelY + 1 69643 -1.37415916 -0.19561719 -78.733520 -11.208039
    Unten rechts KachelX + 1 36871 KachelY + 1 69643 -1.37411123 -0.19561719 -78.730774 -11.208039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19557017--0.19561719) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19557017--0.19561719) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37415916--1.37411123) × cos(-0.19557017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980937030224057 × 6371000     		do = 299.540922851573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37415916--1.37411123) × cos(-0.19561719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980927891937408 × 6371000     		du = 299.538132365811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19557017)-sin(-0.19561719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980937030224057-0.980927891937408)×R²
    abs(-1.37411123--1.37415916)×9.13828664839134e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.13828664839134e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.13828664839134e-06×40589641000000     		ar = 89731.3848717303m²