Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36870 / 20493
↖ ↑ ↗
← N 76.832685°
W 78.733520°		 ← 69.56 m → N 76.832685°
W 78.730774°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.832060°
W 78.733520°		 ← 69.56 m →
4 839 m²		 N 76.832060°
W 78.730774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281299591064453 y=0.156352996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281299591064453 × 217)
    floor (0.281299591064453 × 131072)
    floor (36870.5)     		tx = 36870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156352996826172 × 217)
    floor (0.156352996826172 × 131072)
    floor (20493.5)     		ty = 20493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36870 / 20493 ti = "17/36870/20493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36870/20493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36870 ÷ 217
    36870 ÷ 131072     		x = 0.281295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20493 ÷ 217
    20493 ÷ 131072     		y = 0.156349182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.437408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37415916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156349182128906 × 2 - 1) × π
    0.687301635742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.15922176958619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37415916} λ = -1.37415916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15922176958619))-π/2
    2×atan(8.66439214053935)-π/2
    2×1.45588982935117-π/2
    2.91177965870235-1.57079632675     		φ = 1.34098333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37415916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.733520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34098333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.832685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36870 KachelY 20493 -1.37415916 1.34098333 -78.733520 76.832685
    Oben rechts KachelX + 1 36871 KachelY 20493 -1.37411123 1.34098333 -78.730774 76.832685
    Unten links KachelX 36870 KachelY + 1 20494 -1.37415916 1.34097241 -78.733520 76.832060
    Unten rechts KachelX + 1 36871 KachelY + 1 20494 -1.37411123 1.34097241 -78.730774 76.832060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34098333-1.34097241) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34098333-1.34097241) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37415916--1.37411123) × cos(1.34098333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227795440813472 × 6371000     		do = 69.5600782315894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37415916--1.37411123) × cos(1.34097241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227806073702285 × 6371000     		du = 69.563325112102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34098333)-sin(1.34097241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227795440813472-0.227806073702285)×R²
    abs(-1.37411123--1.37415916)×1.06328888126728e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06328888126728e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06328888126728e-05×40589641000000     		ar = 4839.49940672446m²