Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3687 / 4381
↖ ↑ ↗
← N 78.567023°
W139.493408°		 ← 242.16 m → N 78.567023°
W139.482422°		 →
↑
242.16 m
↓
↑
242.16 m
↓
N 78.564845°
W139.493408°		 ← 242.20 m →
58 646 m²		 N 78.564845°
W139.482422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112533569335938 y=0.133712768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112533569335938 × 215)
    floor (0.112533569335938 × 32768)
    floor (3687.5)     		tx = 3687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133712768554688 × 215)
    floor (0.133712768554688 × 32768)
    floor (4381.5)     		ty = 4381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3687 / 4381 ti = "15/3687/4381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3687/4381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3687 ÷ 215
    3687 ÷ 32768     		x = 0.112518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4381 ÷ 215
    4381 ÷ 32768     		y = 0.133697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.77496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.43461926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133697509765625 × 2 - 1) × π
    0.73260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30154642455814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43461926} λ = -2.43461926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30154642455814))-π/2
    2×atan(9.9896187079344)-π/2
    2×1.47102478347773-π/2
    2.94204956695547-1.57079632675     		φ = 1.37125324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43461926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.493408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37125324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.567023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3687 KachelY 4381 -2.43461926 1.37125324 -139.493408 78.567023
    Oben rechts KachelX + 1 3688 KachelY 4381 -2.43442751 1.37125324 -139.482422 78.567023
    Unten links KachelX 3687 KachelY + 1 4382 -2.43461926 1.37121523 -139.493408 78.564845
    Unten rechts KachelX + 1 3688 KachelY + 1 4382 -2.43442751 1.37121523 -139.482422 78.564845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37125324-1.37121523) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dl = 242.161709999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37125324-1.37121523) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dr = 242.161709999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43461926--2.43442751) × cos(1.37125324) × R
    0.000191749999999935 × 0.198221504711281 × 6371000     		do = 242.155170349279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43461926--2.43442751) × cos(1.37121523) × R
    0.000191749999999935 × 0.19825876034516 × 6371000     		du = 242.200683293909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37125324)-sin(1.37121523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198221504711281-0.19825876034516)×R²
    abs(-2.43442751--2.43461926)×3.72556338788244e-05×R²
    0.000191749999999935×3.72556338788244e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.72556338788244e-05×40589641000000     		ar = 58646.2208906982m²