Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36868 / 28676
↖ ↑ ↗
← N 70.608967°
W 78.739014°		 ← 101.41 m → N 70.608967°
W 78.736267°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
N 70.608055°
W 78.739014°		 ← 101.41 m →
10 279 m²		 N 70.608055°
W 78.736267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281284332275391 y=0.218784332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281284332275391 × 217)
    floor (0.281284332275391 × 131072)
    floor (36868.5)     		tx = 36868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218784332275391 × 217)
    floor (0.218784332275391 × 131072)
    floor (28676.5)     		ty = 28676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36868 / 28676 ti = "17/36868/28676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36868/28676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36868 ÷ 217
    36868 ÷ 131072     		x = 0.281280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28676 ÷ 217
    28676 ÷ 131072     		y = 0.218780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.43743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37425504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218780517578125 × 2 - 1) × π
    0.56243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76695411999527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37425504} λ = -1.37425504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76695411999527))-π/2
    2×atan(5.8529986519734)-π/2
    2×1.40157764081796-π/2
    2.80315528163591-1.57079632675     		φ = 1.23235895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37425504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.739014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23235895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.608967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36868 KachelY 28676 -1.37425504 1.23235895 -78.739014 70.608967
    Oben rechts KachelX + 1 36869 KachelY 28676 -1.37420710 1.23235895 -78.736267 70.608967
    Unten links KachelX 36868 KachelY + 1 28677 -1.37425504 1.23234304 -78.739014 70.608055
    Unten rechts KachelX + 1 36869 KachelY + 1 28677 -1.37420710 1.23234304 -78.736267 70.608055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23235895-1.23234304) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dl = 101.362610000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23235895-1.23234304) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dr = 101.362610000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37425504--1.37420710) × cos(1.23235895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332013515270415 × 6371000     		do = 101.405473591401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37425504--1.37420710) × cos(1.23234304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332028522727741 × 6371000     		du = 101.410057255161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23235895)-sin(1.23234304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332013515270415-0.332028522727741)×R²
    abs(-1.37420710--1.37425504)×1.50074573255776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50074573255776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50074573255776e-05×40589641000000     		ar = 10278.9557779064m²