Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36868 / 20497
↖ ↑ ↗
← N 76.830183°
W 78.739014°		 ← 69.59 m → N 76.830183°
W 78.736267°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.829557°
W 78.739014°		 ← 69.59 m →
4 841 m²		 N 76.829557°
W 78.736267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281284332275391 y=0.156383514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281284332275391 × 217)
    floor (0.281284332275391 × 131072)
    floor (36868.5)     		tx = 36868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156383514404297 × 217)
    floor (0.156383514404297 × 131072)
    floor (20497.5)     		ty = 20497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36868 / 20497 ti = "17/36868/20497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36868/20497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36868 ÷ 217
    36868 ÷ 131072     		x = 0.281280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20497 ÷ 217
    20497 ÷ 131072     		y = 0.156379699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.43743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37425504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156379699707031 × 2 - 1) × π
    0.687240600585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.15903002198771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37425504} λ = -1.37425504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15903002198771))-π/2
    2×atan(8.66273092342639)-π/2
    2×1.45586798769807-π/2
    2.91173597539615-1.57079632675     		φ = 1.34093965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37425504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.739014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34093965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.830183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36868 KachelY 20497 -1.37425504 1.34093965 -78.739014 76.830183
    Oben rechts KachelX + 1 36869 KachelY 20497 -1.37420710 1.34093965 -78.736267 76.830183
    Unten links KachelX 36868 KachelY + 1 20498 -1.37425504 1.34092873 -78.739014 76.829557
    Unten rechts KachelX + 1 36869 KachelY + 1 20498 -1.37420710 1.34092873 -78.736267 76.829557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34093965-1.34092873) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34093965-1.34092873) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37425504--1.37420710) × cos(1.34093965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227837972205728 × 6371000     		do = 69.5875812609882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37425504--1.37420710) × cos(1.34092873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227848604985873 × 6371000     		du = 69.5908287857322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34093965)-sin(1.34092873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227837972205728-0.227848604985873)×R²
    abs(-1.37420710--1.37425504)×1.0632780144848e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0632780144848e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0632780144848e-05×40589641000000     		ar = 4841.41285129556m²