Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36867 / 28677
↖ ↑ ↗
← N 70.608055°
W 78.741761°		 ← 101.41 m → N 70.608055°
W 78.739014°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
N 70.607143°
W 78.741761°		 ← 101.41 m →
10 286 m²		 N 70.607143°
W 78.739014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281276702880859 y=0.218791961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281276702880859 × 217)
    floor (0.281276702880859 × 131072)
    floor (36867.5)     		tx = 36867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218791961669922 × 217)
    floor (0.218791961669922 × 131072)
    floor (28677.5)     		ty = 28677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36867 / 28677 ti = "17/36867/28677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36867/28677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36867 ÷ 217
    36867 ÷ 131072     		x = 0.281272888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28677 ÷ 217
    28677 ÷ 131072     		y = 0.218788146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281272888183594 × 2 - 1) × π
    -0.437454223632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.37430298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218788146972656 × 2 - 1) × π
    0.562423706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.76690618309565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37430298} λ = -1.37430298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76690618309565))-π/2
    2×atan(5.85271808408938)-π/2
    2×1.40156968278887-π/2
    2.80313936557774-1.57079632675     		φ = 1.23234304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37430298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.741761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23234304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.608055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36867 KachelY 28677 -1.37430298 1.23234304 -78.741761 70.608055
    Oben rechts KachelX + 1 36868 KachelY 28677 -1.37425504 1.23234304 -78.739014 70.608055
    Unten links KachelX 36867 KachelY + 1 28678 -1.37430298 1.23232712 -78.741761 70.607143
    Unten rechts KachelX + 1 36868 KachelY + 1 28678 -1.37425504 1.23232712 -78.739014 70.607143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23234304-1.23232712) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dl = 101.426319998956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23234304-1.23232712) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dr = 101.426319998956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37430298--1.37425504) × cos(1.23234304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332028522727741 × 6371000     		do = 101.410057255161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37430298--1.37425504) × cos(1.23232712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332043539533661 × 6371000     		du = 101.414643774221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23234304)-sin(1.23232712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332028522727741-0.332043539533661)×R²
    abs(-1.37425504--1.37430298)×1.50168059201983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50168059201983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50168059201983e-05×40589641000000     		ar = 10285.8815154734m²