Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36863 / 36805
↖ ↑ ↗
← S 21.642111°
E 22.494507°		 ← 567.73 m → S 21.642111°
E 22.500000°		 →
↑
567.72 m
↓
↑
567.72 m
↓
S 21.647217°
E 22.494507°		 ← 567.71 m →
322 306 m²		 S 21.647217°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562492370605469 y=0.561607360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562492370605469 × 216)
    floor (0.562492370605469 × 65536)
    floor (36863.5)     		tx = 36863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561607360839844 × 216)
    floor (0.561607360839844 × 65536)
    floor (36805.5)     		ty = 36805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36863 / 36805 ti = "16/36863/36805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36863/36805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36863 ÷ 216
    36863 ÷ 65536     		x = 0.562484741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36805 ÷ 216
    36805 ÷ 65536     		y = 0.561599731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562484741210938 × 2 - 1) × π
    0.124969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39260321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561599731445312 × 2 - 1) × π
    -0.123199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.387042527532333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39260321} λ = 0.39260321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387042527532333))-π/2
    2×atan(0.67906221547223)-π/2
    2×0.596535114392359-π/2
    1.19307022878472-1.57079632675     		φ = -0.37772610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39260321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37772610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.642111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36863 KachelY 36805 0.39260321 -0.37772610 22.494507 -21.642111
    Oben rechts KachelX + 1 36864 KachelY 36805 0.39269908 -0.37772610 22.500000 -21.642111
    Unten links KachelX 36863 KachelY + 1 36806 0.39260321 -0.37781521 22.494507 -21.647217
    Unten rechts KachelX + 1 36864 KachelY + 1 36806 0.39269908 -0.37781521 22.500000 -21.647217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37772610--0.37781521) × R
    8.91100000000034e-05 × 6371000     		dl = 567.719810000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37772610--0.37781521) × R
    8.91100000000034e-05 × 6371000     		dr = 567.719810000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39260321-0.39269908) × cos(-0.37772610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929505670019564 × 6371000     		do = 567.730695393593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39260321-0.39269908) × cos(-0.37781521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929472801864197 × 6371000     		du = 567.710619926272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37772610)-sin(-0.37781521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929505670019564-0.929472801864197)×R²
    abs(0.39269908-0.39260321)×3.28681553674048e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28681553674048e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28681553674048e-05×40589641000000     		ar = 322306.264113198m²