Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3686 / 1687
↖ ↑ ↗
← N 72.087433°
W 18.017578°		 ← 1 502.92 m → N 72.087433°
W 17.973633°		 →
↑
1 503.49 m
↓
↑
1 503.49 m
↓
N 72.073911°
W 18.017578°		 ← 1 504.01 m →
2 260 447 m²		 N 72.073911°
W 17.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45001220703125 y=0.20599365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45001220703125 × 213)
    floor (0.45001220703125 × 8192)
    floor (3686.5)     		tx = 3686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20599365234375 × 213)
    floor (0.20599365234375 × 8192)
    floor (1687.5)     		ty = 1687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3686 / 1687 ti = "13/3686/1687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3686/1687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3686 ÷ 213
    3686 ÷ 8192     		x = 0.449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1687 ÷ 213
    1687 ÷ 8192     		y = 0.2059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31446606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2059326171875 × 2 - 1) × π
    0.588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84767985895544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31446606} λ = -0.31446606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84767985895544))-π/2
    2×atan(6.34508094868816)-π/2
    2×1.41447968639908-π/2
    2.82895937279816-1.57079632675     		φ = 1.25816305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31446606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25816305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.087433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3686 KachelY 1687 -0.31446606 1.25816305 -18.017578 72.087433
    Oben rechts KachelX + 1 3687 KachelY 1687 -0.31369907 1.25816305 -17.973633 72.087433
    Unten links KachelX 3686 KachelY + 1 1688 -0.31446606 1.25792706 -18.017578 72.073911
    Unten rechts KachelX + 1 3687 KachelY + 1 1688 -0.31369907 1.25792706 -17.973633 72.073911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25816305-1.25792706) × R
    0.000235989999999964 × 6371000     		dl = 1503.49228999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25816305-1.25792706) × R
    0.000235989999999964 × 6371000     		dr = 1503.49228999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31446606--0.31369907) × cos(1.25816305) × R
    0.000766989999999967 × 0.307565333775778 × 6371000     		do = 1502.91593973189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31446606--0.31369907) × cos(1.25792706) × R
    0.000766989999999967 × 0.307789876057852 × 6371000     		du = 1504.01316408656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25816305)-sin(1.25792706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307565333775778-0.307789876057852)×R²
    abs(-0.31369907--0.31446606)×0.000224542282074358×R²
    0.000766989999999967×0.000224542282074358×6371000²
    0.000766989999999967×0.000224542282074358×40589641000000     		ar = 2260447.37257389m²