Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36859 / 36807
↖ ↑ ↗
← S 21.652323°
E 22.472534°		 ← 567.75 m → S 21.652323°
E 22.478028°		 →
↑
567.72 m
↓
↑
567.72 m
↓
S 21.657428°
E 22.472534°		 ← 567.73 m →
322 317 m²		 S 21.657428°
E 22.478028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562431335449219 y=0.561637878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562431335449219 × 216)
    floor (0.562431335449219 × 65536)
    floor (36859.5)     		tx = 36859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561637878417969 × 216)
    floor (0.561637878417969 × 65536)
    floor (36807.5)     		ty = 36807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36859 / 36807 ti = "16/36859/36807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36859/36807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36859 ÷ 216
    36859 ÷ 65536     		x = 0.562423706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36807 ÷ 216
    36807 ÷ 65536     		y = 0.561630249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562423706054688 × 2 - 1) × π
    0.124847412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39221971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561630249023438 × 2 - 1) × π
    -0.123260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.387234275130814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39221971} λ = 0.39221971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387234275130814))-π/2
    2×atan(0.678932019405985)-π/2
    2×0.596446002303712-π/2
    1.19289200460742-1.57079632675     		φ = -0.37790432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39221971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.472534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37790432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.652323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36859 KachelY 36807 0.39221971 -0.37790432 22.472534 -21.652323
    Oben rechts KachelX + 1 36860 KachelY 36807 0.39231559 -0.37790432 22.478028 -21.652323
    Unten links KachelX 36859 KachelY + 1 36808 0.39221971 -0.37799343 22.472534 -21.657428
    Unten rechts KachelX + 1 36860 KachelY + 1 36808 0.39231559 -0.37799343 22.478028 -21.657428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37790432--0.37799343) × R
    8.91100000000034e-05 × 6371000     		dl = 567.719810000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37790432--0.37799343) × R
    8.91100000000034e-05 × 6371000     		dr = 567.719810000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39221971-0.39231559) × cos(-0.37790432) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.929439926328265 × 6371000     		do = 567.749754568668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39221971-0.39231559) × cos(-0.37799343) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.92940704341203 × 6371000     		du = 567.729667990619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37790432)-sin(-0.37799343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929439926328265-0.92940704341203)×R²
    abs(0.39231559-0.39221971)×3.28829162351552e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.28829162351552e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.28829162351552e-05×40589641000000     		ar = 322317.081230372m²