Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36858 / 36832
↖ ↑ ↗
← S 21.779905°
E 22.467041°		 ← 567.19 m → S 21.779905°
E 22.472534°		 →
↑
567.21 m
↓
↑
567.21 m
↓
S 21.785006°
E 22.467041°		 ← 567.17 m →
321 709 m²		 S 21.785006°
E 22.472534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562416076660156 y=0.562019348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562416076660156 × 216)
    floor (0.562416076660156 × 65536)
    floor (36858.5)     		tx = 36858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562019348144531 × 216)
    floor (0.562019348144531 × 65536)
    floor (36832.5)     		ty = 36832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36858 / 36832 ti = "16/36858/36832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36858/36832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36858 ÷ 216
    36858 ÷ 65536     		x = 0.562408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36832 ÷ 216
    36832 ÷ 65536     		y = 0.56201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562408447265625 × 2 - 1) × π
    0.12481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39212384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56201171875 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.389631120111816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39212384} λ = 0.39212384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389631120111816))-π/2
    2×atan(0.677306673232355)-π/2
    2×0.595332633902696-π/2
    1.19066526780539-1.57079632675     		φ = -0.38013106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39212384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.467041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38013106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.779905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36858 KachelY 36832 0.39212384 -0.38013106 22.467041 -21.779905
    Oben rechts KachelX + 1 36859 KachelY 36832 0.39221971 -0.38013106 22.472534 -21.779905
    Unten links KachelX 36858 KachelY + 1 36833 0.39212384 -0.38022009 22.467041 -21.785006
    Unten rechts KachelX + 1 36859 KachelY + 1 36833 0.39221971 -0.38022009 22.472534 -21.785006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38013106--0.38022009) × R
    8.902999999999e-05 × 6371000     		dl = 567.210129999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38013106--0.38022009) × R
    8.902999999999e-05 × 6371000     		dr = 567.210129999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39212384-0.39221971) × cos(-0.38013106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92861601476422 × 6371000     		do = 567.187304844113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39212384-0.39221971) × cos(-0.38022009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928582977198981 × 6371000     		du = 567.167125903314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38013106)-sin(-0.38022009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92861601476422-0.928582977198981)×R²
    abs(0.39221971-0.39212384)×3.30375652395354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30375652395354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30375652395354e-05×40589641000000     		ar = 321708.662277616m²