Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36857 / 36833
↖ ↑ ↗
← S 21.785006°
E 22.461548°		 ← 567.17 m → S 21.785006°
E 22.467041°		 →
↑
567.15 m
↓
↑
567.15 m
↓
S 21.790107°
E 22.461548°		 ← 567.15 m →
321 661 m²		 S 21.790107°
E 22.467041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562400817871094 y=0.562034606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562400817871094 × 216)
    floor (0.562400817871094 × 65536)
    floor (36857.5)     		tx = 36857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562034606933594 × 216)
    floor (0.562034606933594 × 65536)
    floor (36833.5)     		ty = 36833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36857 / 36833 ti = "16/36857/36833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36857/36833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36857 ÷ 216
    36857 ÷ 65536     		x = 0.562393188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36833 ÷ 216
    36833 ÷ 65536     		y = 0.562026977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562393188476562 × 2 - 1) × π
    0.124786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39202797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562026977539062 × 2 - 1) × π
    -0.124053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.389726993911057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39202797} λ = 0.39202797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389726993911057))-π/2
    2×atan(0.677241740381071)-π/2
    2×0.595288119721813-π/2
    1.19057623944363-1.57079632675     		φ = -0.38022009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39202797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.461548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38022009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.785006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36857 KachelY 36833 0.39202797 -0.38022009 22.461548 -21.785006
    Oben rechts KachelX + 1 36858 KachelY 36833 0.39212384 -0.38022009 22.467041 -21.785006
    Unten links KachelX 36857 KachelY + 1 36834 0.39202797 -0.38030911 22.461548 -21.790107
    Unten rechts KachelX + 1 36858 KachelY + 1 36834 0.39212384 -0.38030911 22.467041 -21.790107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38022009--0.38030911) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dl = 567.146419999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38022009--0.38030911) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dr = 567.146419999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39202797-0.39212384) × cos(-0.38022009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928582977198981 × 6371000     		do = 567.167125903314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39202797-0.39212384) × cos(-0.38030911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928549935985551 × 6371000     		du = 567.146944734245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38022009)-sin(-0.38030911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928582977198981-0.928549935985551)×R²
    abs(0.39212384-0.39202797)×3.30412134295077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30412134295077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30412134295077e-05×40589641000000     		ar = 321661.082371112m²