Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36857 / 30503
↖ ↑ ↗
← N 12.345368°
E 22.461548°		 ← 596.66 m → N 12.345368°
E 22.467041°		 →
↑
596.71 m
↓
↑
596.71 m
↓
N 12.340002°
E 22.461548°		 ← 596.68 m →
356 038 m²		 N 12.340002°
E 22.467041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562400817871094 y=0.465446472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562400817871094 × 216)
    floor (0.562400817871094 × 65536)
    floor (36857.5)     		tx = 36857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465446472167969 × 216)
    floor (0.465446472167969 × 65536)
    floor (30503.5)     		ty = 30503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36857 / 30503 ti = "16/36857/30503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36857/30503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36857 ÷ 216
    36857 ÷ 65536     		x = 0.562393188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30503 ÷ 216
    30503 ÷ 65536     		y = 0.465438842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562393188476562 × 2 - 1) × π
    0.124786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39202797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465438842773438 × 2 - 1) × π
    0.069122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.217154155278854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39202797} λ = 0.39202797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217154155278854))-π/2
    2×atan(1.24253563080146)-π/2
    2×0.893131823162886-π/2
    1.78626364632577-1.57079632675     		φ = 0.21546732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39202797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.461548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21546732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.345368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36857 KachelY 30503 0.39202797 0.21546732 22.461548 12.345368
    Oben rechts KachelX + 1 36858 KachelY 30503 0.39212384 0.21546732 22.467041 12.345368
    Unten links KachelX 36857 KachelY + 1 30504 0.39202797 0.21537366 22.461548 12.340002
    Unten rechts KachelX + 1 36858 KachelY + 1 30504 0.39212384 0.21537366 22.467041 12.340002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21546732-0.21537366) × R
    9.36599999999954e-05 × 6371000     		dl = 596.707859999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21546732-0.21537366) × R
    9.36599999999954e-05 × 6371000     		dr = 596.707859999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39202797-0.39212384) × cos(0.21546732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976876586010348 × 6371000     		do = 596.664271534461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39202797-0.39212384) × cos(0.21537366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97689660660506 × 6371000     		du = 596.676499868859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21546732)-sin(0.21537366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976876586010348-0.97689660660506)×R²
    abs(0.39212384-0.39202797)×2.00205947121779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00205947121779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00205947121779e-05×40589641000000     		ar = 356037.909237604m²