Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36856 / 36840
↖ ↑ ↗
← S 21.820708°
E 22.456055°		 ← 567.08 m → S 21.820708°
E 22.461548°		 →
↑
567.02 m
↓
↑
567.02 m
↓
S 21.825807°
E 22.456055°		 ← 567.06 m →
321 542 m²		 S 21.825807°
E 22.461548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562385559082031 y=0.562141418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562385559082031 × 216)
    floor (0.562385559082031 × 65536)
    floor (36856.5)     		tx = 36856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562141418457031 × 216)
    floor (0.562141418457031 × 65536)
    floor (36840.5)     		ty = 36840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36856 / 36840 ti = "16/36856/36840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36856/36840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36856 ÷ 216
    36856 ÷ 65536     		x = 0.5623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36840 ÷ 216
    36840 ÷ 65536     		y = 0.5621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5623779296875 × 2 - 1) × π
    0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.124267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.390398110505737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39193209} λ = 0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390398110505737))-π/2
    2×atan(0.676787384690366)-π/2
    2×0.594976564819675-π/2
    1.18995312963935-1.57079632675     		φ = -0.38084320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38084320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.820708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36856 KachelY 36840 0.39193209 -0.38084320 22.456055 -21.820708
    Oben rechts KachelX + 1 36857 KachelY 36840 0.39202797 -0.38084320 22.461548 -21.820708
    Unten links KachelX 36856 KachelY + 1 36841 0.39193209 -0.38093220 22.456055 -21.825807
    Unten rechts KachelX + 1 36857 KachelY + 1 36841 0.39202797 -0.38093220 22.461548 -21.825807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38084320--0.38093220) × R
    8.90000000000057e-05 × 6371000     		dl = 567.019000000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38084320--0.38093220) × R
    8.90000000000057e-05 × 6371000     		dr = 567.019000000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39193209-0.39202797) × cos(-0.38084320) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.928351545339893 × 6371000     		do = 567.084915431117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39193209-0.39202797) × cos(-0.38093220) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.928318460061715 × 6371000     		du = 567.064705239976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38084320)-sin(-0.38093220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928351545339893-0.928318460061715)×R²
    abs(0.39202797-0.39193209)×3.30852781784685e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.30852781784685e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.30852781784685e-05×40589641000000     		ar = 321542.192093831m²