Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36855 / 30486
↖ ↑ ↗
← N 12.436577°
E 22.450562°		 ← 596.46 m → N 12.436577°
E 22.456055°		 →
↑
596.52 m
↓
↑
596.52 m
↓
N 12.431212°
E 22.450562°		 ← 596.47 m →
355 799 m²		 N 12.431212°
E 22.456055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562370300292969 y=0.465187072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562370300292969 × 216)
    floor (0.562370300292969 × 65536)
    floor (36855.5)     		tx = 36855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465187072753906 × 216)
    floor (0.465187072753906 × 65536)
    floor (30486.5)     		ty = 30486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36855 / 30486 ti = "16/36855/30486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36855/30486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36855 ÷ 216
    36855 ÷ 65536     		x = 0.562362670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30486 ÷ 216
    30486 ÷ 65536     		y = 0.465179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562362670898438 × 2 - 1) × π
    0.124725341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39183622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465179443359375 × 2 - 1) × π
    0.06964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.218784009865936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39183622} λ = 0.39183622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.218784009865936))-π/2
    2×atan(1.24456243444787)-π/2
    2×0.893927767529901-π/2
    1.7878555350598-1.57079632675     		φ = 0.21705921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39183622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.450562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21705921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.436577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36855 KachelY 30486 0.39183622 0.21705921 22.450562 12.436577
    Oben rechts KachelX + 1 36856 KachelY 30486 0.39193209 0.21705921 22.456055 12.436577
    Unten links KachelX 36855 KachelY + 1 30487 0.39183622 0.21696558 22.450562 12.431212
    Unten rechts KachelX + 1 36856 KachelY + 1 30487 0.39193209 0.21696558 22.456055 12.431212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21705921-0.21696558) × R
    9.36300000000112e-05 × 6371000     		dl = 596.516730000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21705921-0.21696558) × R
    9.36300000000112e-05 × 6371000     		dr = 596.516730000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39183622-0.39193209) × cos(0.21705921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97653499600136 × 6371000     		do = 596.455632534616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39183622-0.39193209) × cos(0.21696558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976555155762915 × 6371000     		du = 596.467945870421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21705921)-sin(0.21696558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97653499600136-0.976555155762915)×R²
    abs(0.39193209-0.39183622)×2.01597615555604e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01597615555604e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01597615555604e-05×40589641000000     		ar = 355799.43632493m²