Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36850 / 69649
↖ ↑ ↗
← S 11.224204°
W 78.788452°		 ← 299.52 m → S 11.224204°
W 78.785706°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.226898°
W 78.788452°		 ← 299.52 m →
89 726 m²		 S 11.226898°
W 78.785706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281147003173828 y=0.531383514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281147003173828 × 217)
    floor (0.281147003173828 × 131072)
    floor (36850.5)     		tx = 36850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531383514404297 × 217)
    floor (0.531383514404297 × 131072)
    floor (69649.5)     		ty = 69649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36850 / 69649 ti = "17/36850/69649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36850/69649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36850 ÷ 217
    36850 ÷ 131072     		x = 0.281143188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69649 ÷ 217
    69649 ÷ 131072     		y = 0.531379699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281143188476562 × 2 - 1) × π
    -0.437713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37511790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531379699707031 × 2 - 1) × π
    -0.0627593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.197164468137291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37511790} λ = -1.37511790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197164468137291))-π/2
    2×atan(0.821055584724735)-π/2
    2×0.687448502743164-π/2
    1.37489700548633-1.57079632675     		φ = -0.19589932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37511790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.788452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19589932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.224204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36850 KachelY 69649 -1.37511790 -0.19589932 -78.788452 -11.224204
    Oben rechts KachelX + 1 36851 KachelY 69649 -1.37506997 -0.19589932 -78.785706 -11.224204
    Unten links KachelX 36850 KachelY + 1 69650 -1.37511790 -0.19594634 -78.788452 -11.226898
    Unten rechts KachelX + 1 36851 KachelY + 1 69650 -1.37506997 -0.19594634 -78.785706 -11.226898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19589932--0.19594634) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19589932--0.19594634) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37511790--1.37506997) × cos(-0.19589932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980873014728739 × 6371000     		do = 299.521374949971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37511790--1.37506997) × cos(-0.19594634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980863861261054 × 6371000     		du = 299.518579828497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19589932)-sin(-0.19594634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980873014728739-0.980863861261054)×R²
    abs(-1.37506997--1.37511790)×9.15346768481928e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.15346768481928e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.15346768481928e-06×40589641000000     		ar = 89725.5283215457m²