Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3685 / 4391
↖ ↑ ↗
← N 78.545226°
W139.515381°		 ← 242.60 m → N 78.545226°
W139.504395°		 →
↑
242.67 m
↓
↑
242.67 m
↓
N 78.543043°
W139.515381°		 ← 242.64 m →
58 877 m²		 N 78.543043°
W139.504395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112472534179688 y=0.134017944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112472534179688 × 215)
    floor (0.112472534179688 × 32768)
    floor (3685.5)     		tx = 3685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134017944335938 × 215)
    floor (0.134017944335938 × 32768)
    floor (4391.5)     		ty = 4391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3685 / 4391 ti = "15/3685/4391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3685/4391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3685 ÷ 215
    3685 ÷ 32768     		x = 0.112457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4391 ÷ 215
    4391 ÷ 32768     		y = 0.134002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.77508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.43500275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134002685546875 × 2 - 1) × π
    0.73199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29962894857333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43500275} λ = -2.43500275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29962894857333))-π/2
    2×atan(9.97048220671866)-π/2
    2×1.47083456229748-π/2
    2.94166912459495-1.57079632675     		φ = 1.37087280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43500275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.515381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37087280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.545226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3685 KachelY 4391 -2.43500275 1.37087280 -139.515381 78.545226
    Oben rechts KachelX + 1 3686 KachelY 4391 -2.43481101 1.37087280 -139.504395 78.545226
    Unten links KachelX 3685 KachelY + 1 4392 -2.43500275 1.37083471 -139.515381 78.543043
    Unten rechts KachelX + 1 3686 KachelY + 1 4392 -2.43481101 1.37083471 -139.504395 78.543043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37087280-1.37083471) × R
    3.80899999998796e-05 × 6371000     		dl = 242.671389999233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37087280-1.37083471) × R
    3.80899999998796e-05 × 6371000     		dr = 242.671389999233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43500275--2.43481101) × cos(1.37087280) × R
    0.000191739999999996 × 0.198594381381788 × 6371000     		do = 242.598038677418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43500275--2.43481101) × cos(1.37083471) × R
    0.000191739999999996 × 0.198631712552251 × 6371000     		du = 242.643641522136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37087280)-sin(1.37083471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198594381381788-0.198631712552251)×R²
    abs(-2.43481101--2.43500275)×3.73311704633394e-05×R²
    0.000191739999999996×3.73311704633394e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.73311704633394e-05×40589641000000     		ar = 58877.1365171896m²