Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36845 / 30514
↖ ↑ ↗
← N 12.286334°
E 22.395630°		 ← 596.80 m → N 12.286334°
E 22.401123°		 →
↑
596.84 m
↓
↑
596.84 m
↓
N 12.280966°
E 22.395630°		 ← 596.81 m →
356 194 m²		 N 12.280966°
E 22.401123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562217712402344 y=0.465614318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562217712402344 × 216)
    floor (0.562217712402344 × 65536)
    floor (36845.5)     		tx = 36845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465614318847656 × 216)
    floor (0.465614318847656 × 65536)
    floor (30514.5)     		ty = 30514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36845 / 30514 ti = "16/36845/30514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36845/30514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36845 ÷ 216
    36845 ÷ 65536     		x = 0.562210083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30514 ÷ 216
    30514 ÷ 65536     		y = 0.465606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562210083007812 × 2 - 1) × π
    0.124420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39087748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465606689453125 × 2 - 1) × π
    0.06878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.216099543487213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39087748} λ = 0.39087748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216099543487213))-π/2
    2×atan(1.24122592880865)-π/2
    2×0.89261665239246-π/2
    1.78523330478492-1.57079632675     		φ = 0.21443698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39087748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.395630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21443698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.286334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36845 KachelY 30514 0.39087748 0.21443698 22.395630 12.286334
    Oben rechts KachelX + 1 36846 KachelY 30514 0.39097335 0.21443698 22.401123 12.286334
    Unten links KachelX 36845 KachelY + 1 30515 0.39087748 0.21434330 22.395630 12.280966
    Unten rechts KachelX + 1 36846 KachelY + 1 30515 0.39097335 0.21434330 22.401123 12.280966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21443698-0.21434330) × R
    9.36800000000126e-05 × 6371000     		dl = 596.835280000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21443698-0.21434330) × R
    9.36800000000126e-05 × 6371000     		dr = 596.835280000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39087748-0.39097335) × cos(0.21443698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977096358222986 × 6371000     		do = 596.798505714126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39087748-0.39097335) × cos(0.21434330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977116288790041 × 6371000     		du = 596.810679060732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21443698)-sin(0.21434330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977096358222986-0.977116288790041)×R²
    abs(0.39097335-0.39087748)×1.99305670551819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99305670551819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99305670551819e-05×40589641000000     		ar = 356194.036263318m²